[论文解读] Roe C*-algebra for groupoids and generalized Lichnerowicz Vanishing theorem for foliated manifolds

Xiang Tang, Rufus Willett+1 more|arXiv (Cornell University)|May 25, 2016

Advanced Operator Algebra Research参考文献 11被引用 3

一句话总结

本文为具有非紧单位空间、粗结构和左不变测度系的李群胚引入了一般的Roe C*-代数，从而在开叶状流形上的纵向椭圆微分算子上建立了分析指标理论。通过使用Connes的切群胚和群胚伪微分计算，作者建立了粗分析指标映射，并证明了广义Lichnerowicz消去定理：若叶状流形上的叶方向Dirac算子具有一致正的标量曲率，则其在Roe C*-代数K-理论中的分析指标为零。

ABSTRACT

We introduce the concept of Roe C*-algebra for a locally compact groupoid whose unit space is in general not compact, and that is equipped with an appropriate coarse structure and Haar system. Using Connes' tangent groupoid method, we introduce an analytic index for an elliptic differential operator on a Lie groupoid equipped with additional metric structure, which takes values in the K-theory of the Roe C*-algebra. We apply our theory to derive a Lichnerowicz type vanishing result for foliations on open manifolds.

研究动机与目标

• 将指标理论推广至单位空间非紧的开叶状流形上的纵向椭圆微分算子。
• 为具有非紧单位空间、粗结构和左不变测度系的李群胚定义Roe C*-代数，该代数同时推广了约化群胚C*-代数和经典Roe代数。
• 利用切群胚和伪微分计算，从符号代数的K-理论到Roe C*-代数的K-理论构造粗分析指标映射。
• 在正标量曲率条件下，建立叶方向Dirac算子分析指标的Lichnerowicz型消去结果。

提出的方法

• 为具有非紧单位空间的李群胚 $ \mathsf{G} $ 引入Roe C*-代数 $ C^*_{\text{\mathcal{E}}}(\mathsf{G}) $，利用由李代数丛 $ A $ 上的欧氏结构诱导的粗结构 $ \mathcal{E} $。
• 使用Connes的切群胚构造，定义群胚C*-代数的粗版本，从而得到分析指标映射 $ \operatorname{Ind}_a: K_\bullet(C_e(A^*)) \to K_\bullet(C^*_{\mathcal{E}}(\mathsf{G})) $。
• 在 $ K_0(C_e(A^*)) $ 中定义一个光滑符号 $ (V_1, V_2, \sigma) $，要求 $ \sigma $ 的导数有界，且在无穷远处可逆。
• 构造一参数族群胚伪微分算子 $ \{Q^\lambda(\sigma)\}_{\lambda \in [0,1]} $，并在切群胚Roe C*-代数上定义一个乘子 $ Q(\sigma) $。
• 证明在 $ \lambda = 0 $ 处的取值映射将K-理论类 $ [Q(\sigma)] $ 映射到符号类 $ [V_1, V_2, \sigma] $，从而确立指标映射的一致性。
• 将该理论应用于具有自旋结构和一致正标量曲率的叶状流形上的叶方向Dirac算子，证明其分析指标为零。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将Roe C*-代数推广至具有非紧单位空间和粗结构的李群胚？
• RQ2 能否利用切群胚和伪微分计算，为开叶状流形上的纵向椭圆微分算子定义粗分析指标映射？
• RQ3 在何种几何条件下，叶方向Dirac算子的分析指标在Roe C*-代数的K-理论中为零？
• RQ4 有界几何假设（曲率导数一致有界且正的注入半径）如何影响指标理论？
• RQ5 切群胚在构造一个同时推广经典Roe代数和约化群胚C*-代数情形的粗指标映射中起什么作用？

主要发现

• Roe C*-代数 $ C^*_{\mathcal{E}}(\mathsf{G}) $ 同时推广了约化群胚C*-代数 $ C^*_r(\mathsf{G}) $ 和经典Roe代数 $ C^*(M) $，具体取决于单位空间的紧致性。
• 粗分析指标映射 $ \operatorname{Ind}_a $ 是良定义的，且在 $ \lambda = 0 $ 处的取值映射下与符号类相容，如定理4.8所示。
• 对于满足假设4.3的偶数秩李代数丛与自旋结构及黎曼度量，Dirac算子符号 $ (\mathcal{S}^+, \mathcal{S}^-, \sigma(\not{D}_+)) $ 在 $ K_0(C_e(A^*)) $ 中定义了一个光滑符号。
• 若李代数丛上的黎曼度量具有均匀正的标量曲率 $ k \geq \epsilon > 0 $，则叶方向Dirac算子的分析指标为零：$ \operatorname{Ind}_a(\sigma(\widehat{\not{D}}_+)) = 0 $ 且 $ \operatorname{Ind}_a(\sigma(\widetilde{\not{D}}_+)) = 0 $。
• 在相同的正标量曲率和有界几何假设下，该消去结果对覆盖空间 $ \widehat{M} $ 和法丛的度量空间 $ \widetilde{M} $ 均成立。
• 证明了一个覆盖引理（引理6.1），表明任何具有曲率和注入半径有界性的完备黎曼流形，均可被固定半径的球以有控制的重叠方式均匀局部有限覆盖。