[论文解读] Rough differential equations containing path-dependent bounded variation terms

Shigeki Aida|arXiv (Cornell University)|Aug 10, 2016

Advanced Numerical Analysis Techniques参考文献 36被引用 7

一句话总结

本文建立了具有路径依赖有变差项（如运行最大值过程和反射项）的随机微分方程（RDEs）的存在性及先验估计。通过在控制路径与有变差路径的乘积巴拿赫空间中应用Schauder不动点定理，证明了在标准Hölder正则性条件下解的存在性，并推导出解映射的连续性，从而实现了解过程的拓扑支撑定理。

ABSTRACT

We consider rough differential equations whose coefficients contain path-dependent bounded variation terms and prove the existence and a priori estimate of solutions. These equations include classical path-dependent SDEs containing running maximum processes and normal reflection terms. We apply these results to determine the topological support of the solution processes.

研究动机与目标

• 建立具有系数中包含路径依赖有变差项的随机微分方程（RDEs）的存在性与先验估计。
• 将关于反射型SDEs与含运行最大值过程SDEs的经典结果推广至粗糙路径框架。
• 在唯一性条件下证明解映射在光滑粗糙路径处的连续性，从而实现拓扑支撑定理。
• 将关于反射扩散与扰动型SDEs的结果推广至包含漂移项与路径依赖项的粗糙路径框架。

提出的方法

• 将RDE表述为 $ Z_t = \xi + \int_0^t \sigma(Z_s, A(Z)_s) \, d\mathbf{X}_s $，其中 $ \mathbf{X} $ 是一个 $ 1/\beta $-粗糙路径，$ A(Z)_t $ 是一个路径依赖的有变差过程。
• 在控制路径 $ Z $ 与有变差路径 $ \Psi = A(Z) $ 的乘积巴拿赫空间中应用Schauder不动点定理，利用由 $ \omega $ 控制的Hölder与 $ q $-变差范数。
• 基于粗糙路径 $ \mathbf{X} $ 的控制函数 $ \omega $ 构造函数空间 $ \mathcal{C}^{q\text{-var}, \theta} $，以处理有变差分量。
• 通过先验估计证明解映射在光滑粗糙路径处的连续性，利用粗糙路径的结构与 $ \sigma \in \text{Lip}^{\gamma-1} $ 的正则性（$ \gamma > 1/\beta $）。
• 通过将反射与漂移项嵌入泛函 $ A $，将反射型与扰动型SDEs转化为路径依赖的RDEs，从而应用主要存在性定理。
• 利用Wong–Zakai型逼近与解映射的连续性，推导出由布朗运动粗糙路径驱动的解过程的拓扑支撑定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有路径依赖有变差项的随机微分方程存在解？
• RQ2 如何证明解映射在光滑粗糙路径处的连续性，其对支撑定理有何影响？
• RQ3 经典反射型SDEs与含运行最大值过程的SDEs能否嵌入到具有有变差项的路径依赖RDE框架中？
• RQ4 在解为控制路径与有变差路径之和的背景下，Gubinelli导数起何作用？
• RQ5 如何在保持解的存在性与连续性的同时，将漂移项纳入路径依赖RDEs中？

主要发现

• 本文在标准正则性条件下证明了路径依赖RDEs存在解：$ \sigma \in \text{Lip}^{\gamma-1} $ 且 $ \gamma > 1/\beta $，并对泛函 $ A $ 作出适当假设。
• 在由控制路径与有变差路径构成的乘积巴拿赫空间中，基于粗糙路径的控制函数 $ \omega $ 建立了解的先验估计。
• 在唯一性条件下证明了解映射在光滑粗糙路径处的连续性，这对推导拓扑支撑定理至关重要。
• 结果可推广至 $ \mathbb{R}^n $ 中区域 $ D \subset \mathbb{R}^n $ 上的反射型RDEs，在 $ D $ 满足标准假设(A)与(B)，且 $ \sigma \in \text{Lip}^{\gamma-1} $ 的条件下证明了解的存在性，推广了先前结果。
• 通过改进的粗糙路径表述，框架可容纳漂移项，且对 $ b \in C^1_b $ 仍保持存在性与连续性结果，从而扩展了反射扩散的支撑定理。
• 利用Wong–Zakai逼近与解映射的连续性，建立了由布朗运动粗糙路径驱动的解过程的拓扑支撑定理。