[论文解读] Rs-sectorial operators and generalized Triebel-Lizorkin spaces

Peer Christian Kunstmann, Alexander Ullmann|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2012

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 41被引用 18

一句话总结

本文通过全纯函数演算，引入了在Banach函数空间中与$ρ_s$-扇形算子相关的广义Triebel-Lizorkin空间。建立了各种范数之间的等价性，刻画了实与复插值空间，并证明了此类算子在其相关的广义Triebel-Lizorkin空间中具有有界$H^\infty$-演算，将经典结果从$s=2$的情形推广至一般$s \in [1,\infty]$。

ABSTRACT

We introduce a notion of generalized Triebel-Lizorkin spaces associated with sectorial operators in Banach function spaces. Our approach is based on holomorphic functional calculus techniques. Using the concept of $\mathcal{R}_s$-sectorial operators, which in turn is based on the notion of $\mathcal{R}_s$-bounded sets of operators introduced by Lutz Weis, we obtain a neat theory including equivalence of various norms and a precise description of real and complex interpolation spaces. Another main result of this article is that an $\mathcal{R}_s$-sectorial operator always has a bounded $H^\infty$-functional calculus in its associated generalized Triebel-Lizorkin spaces.

研究动机与目标

• 通过全纯函数演算，在Banach函数空间中为扇形算子建立广义Triebel-Lizorkin空间的理论。
• 将$H^\infty$-函数演算理论从经典$s=2$情形推广至一般$s \in [1,\infty]$，包括离散与连续范数形式。
• 建立$s$-次幂函数范数之间的等价性，并将所得空间刻画为插值尺度。
• 证明$\mathcal{R}_s$-扇形算子在其相关广义Triebel-Lizorkin空间中具有有界$H^\infty$-演算。
• 通过$\mathcal{R}_s$-有界性，将经典插值与函数演算结果推广至非Hilbert空间与非$L^p$情形。

提出的方法

• 通过范数表达式$\|x\|_X + \left( \int_0^\infty \|t^{-\theta} \varphi(tA)x\|_X^s \frac{dt}{t} \right)^{1/s}$定义广义Triebel-Lizorkin空间$X^\theta_{s,A}$与$\dot{X}^\theta_{s,A}$，其中$\varphi$为适当的全纯函数。
• 采用Lutz Weis引入的算子族$\mathcal{R}_s$-有界性概念，定义$\mathcal{R}_s$-扇形算子，并确保$H^\infty$-演算的有界性。
• 利用扇形算子的全纯函数演算定义并分析范数表达式，特别关注函数$\varphi$在积分表达式中的作用。
• 在适当条件下建立连续与离散$s$-次幂函数范数之间的等价性，确保离散情形下的有效性。
• 证明算子$A$在广义Triebel-Lizorkin空间$\dot{X}^\theta_{s,A}$中的部分$\dot{A}_{\theta,s}$具有有界$H^\infty$-演算，其角度不超过$\omega_{\mathcal{R}_s}(A)$。
• 通过将$\mathcal{R}_s$-有界性推广至$\mathcal{R}_s(E)$-有界性，并识别典型乘积空间，将框架扩展至向量值与Banach函数空间值情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过全纯函数演算在Banach函数空间中为一般扇形算子定义广义Triebel-Lizorkin空间？
• RQ2 全纯函数$\varphi$需满足何种条件，才能保证广义Triebel-Lizorkin范数中连续与离散$s$-次幂函数范数的等价性？
• RQ3 在何种条件下，$\mathcal{R}_s$-扇形算子在其相关广义Triebel-Lizorkin空间中具有有界$H^\infty$-演算？
• RQ4 广义Triebel-Lizorkin空间与算子定义域的实与复插值尺度有何关系？
• RQ5 该理论能否在保持有界$H^\infty$-演算性质的前提下，推广至向量值或Banach函数空间值情形？

主要发现

• 通过全纯函数演算，广义Triebel-Lizorkin空间$X^\theta_{s,A}$与$\dot{X}^\theta_{s,A}$在Banach函数空间中对$\mathcal{R}_s$-扇形算子是良好定义的。
• 在全纯函数$\varphi$的适当条件下，建立了连续与离散$s$-次幂函数范数之间的等价性，将经典Littlewood-Paley理论推广至一般$s \in [1,\infty]$。
• $\dot{X}^\theta_{s,A}$中算子$A$的部分$\dot{A}_{\theta,s}$具有有界$H^\infty$-演算，其角度不超过$\omega_{\mathcal{R}_s}(A)$，将Dore定理由Hilbert空间情形推广至非Hilbert空间情形。
• 当$\theta \geq 0$时，若$A^{-1} \in L(X)$或$A$在$X$中具有有界$H^\infty$-演算，则$X^\theta_{s,A}$中部分$A_{\theta,s}$也具有相同角度界的有界$H^\infty$-演算。
• 通过$\mathcal{R}_s(E)$-有界性，该理论可推广至向量值与Banach函数空间值情形，但一般情况下$\mathcal{R}_2(E)$-有界性与$\mathcal{R}$-有界性之间等价性不成立，除非$E$为Hilbert空间。
• 在适当势函数条件下，特别是当$V^-$属于Kato类时，广义Triebel-Lizorkin空间与Schrödinger算子$H = -\Delta + V$的Littlewood-Paley分解所定义的空间一致。