[论文解读] Ruled special Lagrangian 3-folds in C^3

Dominic Joyce|ArXiv.org|Dec 8, 2000

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 4被引用 13

一句话总结

该论文通过推广 Harvey-Lawson 和 Borisenko 的构造方法，构建了 ℂ³ 中显式的一族直纹特殊拉格朗日子流形 3-流形。证明了对于固定的特殊拉格朗日锥，渐近于该锥的直纹 SL 3-流形集合构成一个向量空间，并提出一种利用关联黎曼曲面上的全纯向量场生成此类 3-流形的方法，从而得到具有环面和克莱因瓶拓扑的新显式例子。

ABSTRACT

This is the fourth in a series of papers math.DG/0008021, math.DG/0008155, math.DG/0010036 constructing explicit examples of special Lagrangian submanifolds (SL m-folds) in C^m. A submanifold of C^m is ruled if it is fibred by a family of real straight lines in C^m. This paper studies ruled special Lagrangian 3-folds in C^3, giving both general theory and families of examples. Our results are related to previous work of Harvey and Lawson, Borisenko and Bryant. An important class of ruled SL 3-folds is the special Lagrangian cones in C^3. Each ruled SL 3-fold is asymptotic to a unique SL cone. We study the family of ruled SL 3-folds N asymptotic to a fixed SL cone N_0. We find that this depends on solving a linear equation, so that the family of such N has the structure of a vector space. We also show that the intersection Sigma of N_0 with the unit sphere in C^3 is a Riemann surface, and construct a ruled SL 3-fold N asymptotic to N_0 for each holomorphic vector field w on Sigma. As corollaries of this we write down two large families of explicit SL 3-folds depending on a holomorphic function on C, which include many new examples of singularities of SL 3-folds. We also show that each SL T^2 cone N_0 can be extended to a 2-parameter family of ruled SL 3-folds asymptotic to N_0, and diffeomorphic to T^2 x R.

研究动机与目标

• 在 ℂ³ 中构造显式的一族渐近于固定特殊拉格朗日锥的直纹特殊拉格朗日子流形 3-流形。
• 基于黎曼曲面上的全纯向量场提出新框架，推广 Harvey-Lawson 和 Borisenko 的现有构造。
• 提供微分同胚于 T²×ℝ 或克莱因瓶上实线丛的直纹 SL 3-流形的显式参数化。
• 研究在 U(1) 作用下 G-不变的直纹 SL 3-流形的结构，识别解族。

提出的方法

• 将直纹 SL 3-流形表示为 N = {rϕ(σ) + ψ(σ) : r ∈ ℝ, σ ∈ Σ}，其中 ϕ 映射到 S⁵，ψ 映射到 ℂ³。
• 定义渐近锥 N₀ = {rϕ(σ) : r ∈ ℝ, σ ∈ Σ}，其必须为特殊拉格朗日。
• 证明若 N₀ 为特殊拉格朗日且 ϕ 固定，则当且仅当 ψ 满足一个线性偏微分方程时，N 为特殊拉格朗日。
• 利用定理 6.1 从黎曼曲面 Σ 上的全纯向量场 w 构造直纹 SL 3-流形，其中 ψ 由 w 与 ∂ϕ/∂s、∂ϕ/∂t 推导得出。
• 将构造方法应用于使用雅可比椭圆函数的显式 T²-锥，得到 2-参数族的 SL 3-流形。
• 将 G-不变情形约化为涉及椭圆函数的四变量线性一阶常微分方程，部分解通过全纯向量场获得。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 ℂ³ 中，渐近于固定特殊拉格朗日锥的直纹 SL 3-流形集合是否可赋予向量空间结构？
• RQ2 如何利用黎曼曲面 Σ = N₀ ∩ S⁵ 上的全纯向量场在 ℂ³ 中生成新的直纹 SL 3-流形？
• RQ3 从 ℂ³ 中已知的 T²-锥可产生哪些显式直纹 SL 3-流形族？其拓扑类型为何？
• RQ4 在多大程度上可对 G-不变的直纹 SL 3-流形进行分类？其与具有椭圆函数系数的线性常微分方程的解有何关联？
• RQ5 通过此方法构造的直纹 SL 3-流形中是否存在新的奇点？与先前例子相比有何不同？

主要发现

• 当固定特殊拉格朗日锥 N₀ 和 ϕ 时，渐近于 N₀ 的直纹 SL 3-流形集合构成一个向量空间，因为 ψ 必须满足一个线性方程。
• 对于黎曼曲面 Σ 上的每个全纯向量场 w，均可构造一个渐近于 N₀ 的直纹 SL 3-流形 N，从而推广了 Borisenko 和 Bryant 的结果。
• 从 T²-锥可得到显式 2-参数族的直纹 SL 3-流形，微分同胚于 T²×ℝ，当 b₁ 为偶数时出现新奇点。
• 当 b₁ 为奇数且 u=0 时，构造方法产生一个 1-参数族的直纹 SL 3-流形，微分同胚于克莱因瓶上实线丛的总空间。
• G-不变情形产生一个 4-维显式 SL 3-流形族，尽管完整的 6-维解空间仍部分未知。
• 该方法生成了具有 T²×ℝ 和克莱因瓶线丛拓扑的新 SL 3-流形例子，使用涉及雅可比椭圆函数的显式公式。