[论文解读] Saddle towers in H^2 x R

Filippo Morabito, M. Magdalena Rodríguez|ArXiv.org|Oct 29, 2009

Geometric Analysis and Curvature Flows被引用 4

一句话总结

本文在 H²×R 中构造了一个 (2k−2) 参数族的恰当嵌入极小曲面，称为 Saddle Towers，其具有零亏格、2k 个垂直 Scherk 型端面，总内在曲率为 4π(1−k)，且在垂直平移下不变。该构造基于理想多边形区域上 Jenkins-Serrin 图的共轭极小曲面，当 ℓ→∞ 时，极限产生对称极小曲面与 Jenkins-Serrin 图。

ABSTRACT

Given k>=2, we construct a (2k-2)-parameter family of properly embedded minimal surfaces in H^2 x R invariant by a vertical translation T, called Saddle Towers, which have total intrinsic curvature 4 pi(1-k), genus zero and 2k vertical Scherk-type ends in the quotient by T. As limits of those Saddle Towers, we obtain Jenkins-Serrin graphs over ideal polygonal domains (with total intrinsic curvature 2 pi(1-k)); we also get properly embedded minimal surfaces which are symmetric with respect to a horizontal slice and have total intrinsic curvature 4 pi(1-k), genus zero and k vertical planar ends.

研究动机与目标

• 在 H²×R 中构造一个 (2k−2) 参数族的恰当嵌入极小曲面，其具有零亏格与 2k 个垂直 Scherk 型端面。
• 将经典 Scherk 与 Saddle Tower 构造从 R³ 扩展至乘积空间 H²×R。
• 分析当垂直平移长度 ℓ→∞ 时，Saddle Towers 的极限，得到具有 k 个平面端面的新极小曲面。
• 证明在 H²×R 中，对具有指定边界值 ±∞ 的理想多边形区域，Jenkins-Serrin 图的存在性。
• 表明 H²×R 中存在比 R³ 更丰富的有限总曲率极小曲面族，包括非单连通的例子。

提出的方法

• 在 H² 中的理想多边形区域上构造具有交替分配至边的边界值 ±∞ 的极小图。
• 应用共轭极小曲面构造，将 Jenkins-Serrin 图转换为 H²×R 中的 Saddle Towers。
• 利用共轭过程生成具有水平对称曲线及在垂直平移商空间中具有垂直 Scherk 型端面的曲面。
• 取 ℓ→∞ 的极限，得到在 H²×{0} 上关于反射对称且具有 k 个垂直平面端面的极小曲面。
• 通过紧集上的一致收敛性，证明共轭曲面序列收敛于理想多边形区域上的 Jenkins-Serrin 图。
• 固定 k−1 个顶点以参数化理想多边形区域的空间，得到 (2k−3) 个自由度，并通过引入平移长度 ℓ 扩展为 (2k−2) 个参数。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 k≥2，是否可在 H²×R 中构造一个 (2k−2) 参数族的恰当嵌入极小曲面，其具有零亏格与 2k 个垂直 Scherk 型端面？
• RQ2 当 H²×R 中的 Saddle Towers 的垂直平移长度 ℓ→∞ 时，其极限行为如何？极限下会生成何种极小曲面？
• RQ3 在 H²×R 中的理想多边形区域上，是否可构造具有交替边边界值 ±∞ 的 Jenkins-Serrin 图？
• RQ4 在 H²×R 中对称的 Saddle Towers 是否可收敛于具有旋转对称性的理想多边形区域上的自共轭 Jenkins-Serrin 图？
• RQ5 H²×R 中缺乏相似变换（homotheties）在确定极小曲面参数空间中起何作用？

主要发现

• 对每个 k≥2，H²×R 中存在一个 (2k−2) 参数族的恰当嵌入极小曲面，称为 Saddle Towers，其具有零亏格、2k 个垂直 Scherk 型端面，总内在曲率为 4π(1−k)。
• 当垂直平移长度 ℓ→∞ 时，Saddle Towers 收敛于在 H²×{0} 上关于反射对称、具有 k 个垂直平面端面且总曲率为 4π(1−k) 的极小曲面。
• 这些极限曲面是具有 2k 条边的理想多边形区域上的 Jenkins-Serrin 图，其边界值交替分配为 ±∞，总曲率为 4π(1−k)。
• 此类 Jenkins-Serrin 图的空间具有 (2k−3) 个参数，对应于理想多边形中 k−1 个顶点的选择（模等距变换）。
• 该构造首次提供了 H²×R 中具有零亏格与 k≥3 个端面的恰当嵌入极小曲面的例子，而这类曲面在 R³ 中是不可能存在的。
• 具有旋转对称性的理想多边形区域上的对称 Jenkins-Serrin 图是自共轭的，即其共轭曲面与自身等距。