[论文解读] Sample efficient tomography via Pauli Measurements

Nengkun Yu|arXiv (Cornell University)|Sep 10, 2020

Quantum Information and Cryptography参考文献 13被引用 6

一句话总结

该论文证明了泡利测量能够实现n-量子比特系统的样本高效量子态层析与重叠层析。它证明了完整态层析的最优样本复杂度为O(10ⁿ log(1/δ)/ε²)，而k-量子比特约化密度矩阵估计的样本复杂度为O(10ᵏ log(ⁿ choose k /δ)/ε²)，表明对于常数k，联合测量在渐近意义上并不优于泡利测量。

ABSTRACT

Pauli Measurements are the most important measurements in both theoretical and experimental aspects of quantum information science. In this paper, we explore the power of Pauli measurements in the state tomography related problems. Firstly, we show that the extit{quantum state tomography} problem of $n$-qubit system can be accomplished with ${\mathcal{O}}(\frac{10^n}{ε^2})$ copies of the unknown state using Pauli measurements. As a direct application, we studied the extit{quantum overlapping tomography} problem introduced by Cotler and Wilczek in Ref. \cite{Cotler_2020}. We show that the sample complexity is $\mathcal{O}(\frac{10^k\cdot\log({{n}\choose{k}}/δ))}{ε^{2}})$ for quantum overlapping tomography of $k$-qubit reduced density matrices among $n$ is quantum system, where $1-δ$ is the confidential level, and $ε$ is the trace distance error. This can be achieved using Pauli measurements. Moreover, we prove that $Ω(\frac{\log(n/δ)}{ε^{2}})$ copies are needed. In other words, for constant $k$, joint, highly entangled, measurements are not asymptotically more efficient than Pauli measurements.

研究动机与目标

• 确定仅使用泡利测量进行准确量子态层析所需的最少态副本数。
• 解决n-量子比特系统中量子重叠层析的样本复杂度问题——即重构所有k-量子比特约化密度矩阵。
• 在态层析背景下，比较泡利测量与联合（纠缠）测量的效率。
• 在迹距离误差与置信度约束下，建立泡利基层析的样本复杂度的紧致上下界。

提出的方法

• 对每个未知量子态副本的各个量子比特施加泡利测量，以估计期望值。
• 应用浓度不等式与联合界，以控制所有k-量子比特子系统中的误差。
• 采用随机测量方案，确保每个泡利基被采样足够多次，以保证估计的可靠性。
• 通过尾部概率分析与二项式系数估计，推导出每个泡利基的测量次数界。
• 利用泡利算符构成密度矩阵基的性质，通过线性反演重建完整态。
• 在所有k-量子比特子系统与所有泡利基上应用联合界，以确保高概率成功。

实验结果

研究问题

• RQ1 仅使用泡利测量时，n-量子比特量子态层析的最优样本复杂度是多少？
• RQ2 泡利测量能否在量子重叠层析中实现与联合测量相同的渐近样本复杂度？
• RQ3 样本复杂度如何随约化密度矩阵中量子比特数k变化？
• RQ4 在态重建中，使用联合测量是否相对于泡利测量具有根本性优势？
• RQ5 为以迹距离误差ε和置信度1−δ估计所有k-量子比特约化密度矩阵，最少需要多少份副本？

主要发现

• 使用泡利测量进行n-量子比特态层析的样本复杂度为O(10ⁿ log(1/δ)/ε²)，在对数因子范围内为最优。
• 对于量子重叠层析，样本复杂度为O(10ᵏ log(ⁿ choose k /δ)/ε²)，与该问题的最佳已知界一致。
• 建立了Ω(log(n/δ)/ε²)份副本的下界，表明对于常数k，联合测量在渐近意义上并不优于泡利测量。
• 分析证实，即使在重构多个约化密度矩阵时，泡利测量也足以实现最优样本复杂度。
• 通过控制测量频率并利用二项尾部的概率界，该方法确保了高概率重建（1−δ）。
• 结果表明，对于常数k，高度纠缠的联合测量在样本效率方面并不相对于局部泡利测量具有渐近优势。