[论文解读] Sample path large deviations for a class of Markov chains related to disordered mean field models

Anton Bovier, Véronique Gayrard|ArXiv.org|May 5, 1999

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文为具有缩放参数 $\varepsilon$ 的格点上一类离散时间马尔可夫链建立了样本路径大偏差原理，其中转移概率在位置和时间上平滑依赖，仅在边界附近除外。速率函数被识别为由时变拉格朗日函数导出的作用泛函，为具有 quenched disorder 的平均场模型提供了严格的大偏差框架。

ABSTRACT

We prove a large deviation principle on path space for a class of discrete time Markov processes whose state space is the intersection of a regular domain $Ł\subset \R^d$ with some lattice of spacing $\e$. Transitions from $x$ to $y$ are allowed if $\e^{-1}(x-y)\in \D$ for some fixed set of vectors $\D$. The transition probabilities $p_\e(t,x,y)$, which themselves depend on $\e$, are allowed to depend on the starting point $x$ and the time $t$ in a sufficiently regular way, except near the boundaries, where some singular behaviour is allowed. The rate function is identified as an action functional which is given as the integral of a Lagrange function. %of time dependent relativistic classical mechanics. Markov processes of this type arise in the study of mean field dynamics of disordered mean field models.

研究动机与目标

• 为具有小间距 $\varepsilon$ 的格点上的马尔可夫链建立大偏差原理，以模拟无序平均场系统。
• 刻画此类系统中罕见路径事件的指数衰减速率。
• 将速率函数识别为由时变拉格朗日函数导出的作用泛函。
• 允许具有时间与空间依赖的转移概率，并在边界附近控制奇异性。
• 为研究无序平均场自旋系统中的亚稳态和路径行为提供严格的概率基础。

提出的方法

• 考虑定义在 $\varepsilon \mathbb{Z}^d \cap \Lambda$ 上的马尔可夫过程，其中 $\Lambda \subset \mathbb{R}^d$ 为一正则区域。
• 仅当 $\varepsilon^{-1}(x - y) \in \Delta$ 时，才允许从 $x$ 到 $y$ 的转移，其中 $\Delta \subset \mathbb{Z}^d$ 为一固定有限集合。
• 允许转移概率 $p_\varepsilon(t,x,y)$ 以规则方式依赖于时间 $t$ 和位置 $x$，仅在 $\Lambda$ 的边界附近除外。
• 通过证明指数紧致性并利用变分公式识别速率函数，建立路径空间上的大偏差原理。
• 将速率函数识别为时间上拉格朗日函数的积分，对应于时变相对论性经典力学的作用量。
• 使用弱收敛方法和紧致性论证，在转移核的适度正则性条件下推导出大偏差原理。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有 quenched disorder 和时空非均匀性的格点上马尔可夫链的样本路径，其大偏差速率函数是什么？
• RQ2 在平均场动力学背景下，速率函数如何与时变拉格朗日函数相关联？
• RQ3 尽管转移概率在边界附近存在奇异性，是否仍可为这类链建立大偏差原理？
• RQ4 当格点间距 $\varepsilon \to 0$ 时，路径概率的渐近行为如何？
• RQ5 作用泛函如何作为离散时间路径概率的极限出现？

主要发现

• 在轨迹空间上，大偏差原理成立，其速率函数由时间上时变拉格朗日函数的积分为表达。
• 速率函数被识别为作用泛函，对应于时变相对论性经典力学的哈密顿量。
• 在转移概率的适度正则性条件下，已建立离散时间马尔可夫过程向连续作用泛函的收敛性。
• 证明了路径测度族的指数紧致性，从而保证了大偏差原理的存在性。
• 即使转移概率在区域 $\Lambda$ 边界附近表现出奇异行为，该方法在受控条件下依然适用。
• 该框架为无序平均场自旋系统中罕见事件（如亚稳态跃迁）提供了严格的路径描述。