[论文解读] Sampling and cubature on sparse grids based on a B-spline quasi-interpolation
本文针对具有各向异性光滑性的函数，在Besov型空间中构建了渐近最优的线性采样算法与积分公式，采用B样条拟插值方法。研究建立了最优恢复与积分误差的精确渐近阶，通过利用结构化稀疏网格与基于B样条的重构方法，实现了最优收敛速率。
Let $X_n = \{x^j\}_{j=1}^n$ be a set of $n$ points in the $d$-cube $[0,1]^d$, and $Φ_n = \{φ_j\}_{j =1}^n$ a family of $n$ functions on $[0,1]^d$. We consider the approximate recovery functions $f$ on $[0,1]^d$ from the sampled values $f(x^1), ..., f(x^n)$, by the linear sampling algorithm \begin{equation} onumber L_n(X_n,Φ_n,f) \ := \ \sum_{j=1}^n f(x^j)φ_j. \end{equation} The error of sampling recovery is measured in the norm of the space $L_q([0,1]^d)$-norm or the energy norm of the isotropic Sobolev sapce $W^γ_q([0,1]^d)$ for $0 < q \le \infty$ and $γ> 0$. Functions $f$ to be recovered are from the unit ball in Besov type spaces of an anisotropic smoothness, in particular, spaces $B^a_{p,θ}$ of a nonuniform mixed smoothness $a \in {\mathbb R}^d_+$, and spaces $B^{α,β}_{p,θ}$ of a "hybrid" of mixed smoothness $α> 0$ and isotropic smoothness $β\in \mathbb R$. We constructed optimal linear sampling algorithms $L_n(X_n^*,Φ_n^*,\cdot)$ on special sparse grids $X_n^*$ and a family $Φ_n^*$ of linear combinations of integer or half integer translated dilations of tensor products of B-splines. We computed the asymptotic of the error of the optimal recovery. This construction is based on a B-spline quasi-interpolation representations of functions in $B^a_{p,θ}$ and $B^{α,β}_{p,θ}$. As consequences we obtained the asymptotic of optimal cubature formulas for numerical integration of functions from the unit ball of these Besov type spaces.
研究动机与目标
- 为高维空间中具有各向异性光滑性的函数开发渐近最优的线性采样算法与积分公式。
- 通过在Smolyak型网格上采用B样条拟插值构建的稀疏网格，克服维度灾难。
- 推导出在具有混合与非均匀光滑性的Besov型空间中，$ L_q $ 与Sobolev能量范数下最优恢复误差的精确渐近阶。
- 建立在单位立方体 $[0,1]^d$ 上数值积分的最优积分公式之渐近阶。
- 统一并拓展先前关于周期性与非周期性函数在各向异性光滑性下的采样恢复与积分研究结果。
提出的方法
- 基于稀疏网格上的B样条拟插值构造线性采样算法 $ L_n(X_n, ilde{oldsymbol{ heta}}_n, f) = \nsum_{j=1}^n f(x^j) \tilde{\theta}_j $，其中 $ \tilde{\boldsymbol{\theta}}_n $ 为一族由B样条拟插值导出的函数。
- 采用Smolyak构造定义稀疏网格 $ X_n^* $，即 $ \tilde{\boldsymbol{\theta}}_n = \text{span}\big\backslash\{ \text{B样条张量积} \} $，网格点形式为 $ x^j = 2^{-k}s $，其中 $ k \neq 0 $，$ s \neq 0 $。
- 利用B样条拟插值表示法，将Besov型空间 $ B^{\boldsymbol{\beta}}_{p,\theta} $ 与 $ B^a_{p,\theta} $ 中的函数表示为稳定且精确的重构形式。
- 通过插值与嵌入定理分析 $ L_q $ 与Sobolev $ W^\nu_q $ 范数下的逼近误差，推导出最优误差界。
- 利用采样恢复与积分之间的对偶性，通过积分重构核，从采样算法导出最优积分公式。
- 利用不等式 $ i_n(W) \leq r_n(W)_1 $ 建立最优恢复误差与最优积分误差之间的渐近等价性。
实验结果
研究问题
- RQ1在具有各向异性光滑性的Besov型空间中，最优采样恢复误差的渐近阶是什么？
- RQ2如何利用B样条拟插值在稀疏网格上构造渐近最优的采样算法？
- RQ3在稀疏网格上，$ B^{\boldsymbol{\beta}}_{p,\theta} $ 与 $ B^a_{p,\theta} $ 中函数的数值积分（积分公式）的最优收敛速率是多少？
- RQ4在高维逼近问题中，网格结构选择（稀疏与全网格）如何影响收敛速率？
- RQ5在各向异性光滑性背景下，最优采样恢复误差与最优积分误差之间存在何种关系？
主要发现
- 对于 $ f \to B^{\boldsymbol{\beta}}_{p,\theta} $，在 $ L_q({\bf I}^d) $ 或 $ W^\nu_q({\bf I}^d) $ 中的最优采样恢复的渐近阶为 $ r_n(U^{\boldsymbol{\beta}}_{p,\theta}, B^\nu_q) \asymp n^{-\alpha - (\beta - \nu)/d + (1/p - 1/q)_+} $，当 $ \beta > \nu $ 时；当 $ \beta < \nu $ 时，为 $ n^{-\alpha - \beta + \nu + (1/p - 1/q)_+} $。
- 对于 $ B^a_{p,\theta} $ 且 $ a \in \mathbb{R}^d_+ $，最优采样恢复误差为 $ r_n(U^a_{p,\theta}, W^\nu_q) \asymp n^{-a_1 + (1/p - 1/q)_+} $，表明其依赖于最大光滑性参数 $ a_1 $。
- 对于 $ U^{\boldsymbol{\beta}}_{p,\theta} $，最优积分误差为 $ i_n(U^{\boldsymbol{\beta}}_{p,\theta}) \asymp n^{-\alpha - \beta/d + (1/p - 1)_+} $，当 $ \beta > 0 $ 时；当 $ \beta < 0 $ 时，为 $ n^{-\alpha - \beta + (1/p - 1)_+} $。
- 对于 $ B^a_{p,\theta} $，最优积分误差为 $ i_n(U^a_{p,\theta}) \asymp n^{-a_1 + (1/p - 1)_+} $，表明收敛速率仅依赖于最大光滑性参数 $ a_1 $。
- 所构造的采样算法与积分公式具有渐近最优性，其误差界与通过极值函数导出的理论下界一致。
- 本研究推广并统一了先前关于周期性与非周期性函数的研究成果，通过稀疏网格与B样条拟插值，将最优恢复与积分扩展至非均匀与混合光滑性空间。
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