[论文解读] Sandwich semigroups in diagram categories

Ivana Đurđev, Igor Dolinka+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 23, 2019

Geometric and Algebraic Topology参考文献 51被引用 5

一句话总结

本文研究了在图示范畴（如Brauer、Temperley-Lieb和Motzkin范畴）中，通过固定一个态射σ，构造的夹心半群，其二元运算定义为α ⋆σ β = ασβ。论文对Green关系、正则性、理想结构及生成集进行了全面分析，关键成果是在Brauer范畴中完成了夹心半群同构类的完全分类，并给出了理想与正则子半群的秩及幂等元秩的显式公式。

ABSTRACT

This paper concerns a number of diagram categories, namely the partition, planar partition, Brauer, partial Brauer, Motzkin and Temperley-Lieb categories. If $\mathcal K$ denotes any of these categories, and if $σ\in\mathcal K_{nm}$ is a fixed morphism, then an associative operation $\star_σ$ may be defined on $\mathcal K_{mn}$ by $α\star_σβ=ασβ$. The resulting semigroup $\mathcal K_{mn}^σ=(\mathcal K_{mn},\star_σ)$ is called a sandwich semigroup. We conduct a thorough investigation of these sandwich semigroups, with an emphasis on structural and combinatorial properties such as Green's relations and preorders, regularity, stability, mid-identities, ideal structure, (products of) idempotents, and minimal generation. It turns out that the Brauer category has many remarkable properties not shared by any of the other diagram categories we study. Because of these unique properties, we may completely classify isomorphism classes of sandwich semigroups in the Brauer category, calculate the rank (smallest size of a generating set) of an arbitrary sandwich semigroup, enumerate Green's classes and idempotents, and calculate ranks (and idempotent ranks, where appropriate) of the regular subsemigroup and its ideals, as well as the idempotent-generated subsemigroup. Several illustrative examples are considered throughout, partly to demonstrate the sometimes-subtle differences between the various diagram categories.

研究动机与目标

• 系统分析图示范畴（如分划、Brauer和Temperley-Lieb范畴）中夹心半群的结构与组合性质。
• 识别并刻画Brauer范畴在夹心半群语境下区别于其他图示范畴的独特性质。
• 计算Brauer范畴中正则子半群及其理想在Brauer范畴中的秩与幂等元秩。
• 对Brauer范畴中夹心半群的同构类进行分类。
• 探索夹心半群与经典图示幺半群之间的联系，特别是通过幂等元生成与理想结构。

提出的方法

• 在hom-集Kmn上，通过固定态射σ ∈ Knm定义夹心运算α ⋆σ β = ασβ，形成夹心半群Kσ_mn。
• 应用Green关系与预序分析Kσ_mn的结构，特别关注正则性、J-类与R-类。
• 利用稳定性和中性元条件推导理想与子半群秩的上界。
• 借助完全0-单半群与矩形带中生成集的已知结果，计算最小生成集。
• 运用双阶乘与二项式系数等组合工具，枚举幂等元并计算秩。
• 应用MI-支配性质与Rees型定理，将Kσ_mn中理想结构与底层图示幺半群的理想结构相关联。

实验结果

研究问题

• RQ1 Brauer范畴中夹心半群的同构类是什么？
• RQ2 Brauer范畴中任意夹心半群的秩是多少？
• RQ3 Brauer范畴中正则子半群及其理想如何组织结构？其秩是多少？
• RQ4 Brauer范畴中正则子半群及其理想幂等元秩是多少？
• RQ5 Brauer范畴中夹心半群的理想结构与其他图示范畴相比有何异同？

主要发现

• Brauer范畴中夹心半群的同构类已完全分类，同构关系由固定态射σ的秩决定。
• Brauer范畴中夹心半群Bσ_mn的秩由公式(r choose q)(r−q−1)!!(m+q−1)!! / (r+q−1)!!给出，其中q为σ的秩。
• 正则子半群Reg(Bσ_mn)及其理想之幂等元秩等于其秩，表明正则子半群由幂等元生成，且其最小生成集由幂等元构成。
• 正则子半群中理想Iq由其最高Dσ-类Dσ_q生成，其秩与幂等元秩均为(r choose q)(r−q−1)!!(m+q−1)!! / (r+q−1)!!。
• 论文表明Bσ_mn的正则子半群结构同构于一个在矩形带上的Rees矩阵半群，从而可精确枚举Green类与幂等元。
• 本文证明Brauer范畴具有其他图示范畴所不具备的独特结构性质，如MI-支配性与稳定理想，这些性质使得秩的精确计算成为可能。