[论文解读] Scalar conservation laws with rough (stochastic) fluxes

Pierre‐Louis Lions, Benoı̂t Perthame+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 8, 2013

Fluid Dynamics and Turbulent Flows参考文献 16被引用 4

一句话总结

本文为具有拟线性乘法粗糙路径依赖的标量守恒律建立了路径分明的理论，引入了路径分明的随机熵解的概念。通过路径分明的 $L^1$-收缩证明了存在性、唯一性及连续依赖性，利用动能公式化和流反演方法，将随机粘性解技术扩展至守恒律领域。

ABSTRACT

We develop a pathwise theory for scalar conservation laws with quasilinear multiplicative rough path dependence, a special case being stochastic conservation laws with quasilinear stochastic dependence. We introduce the notion of pathwise stochastic entropy solutions, which is closed with the local uniform limits of paths, and prove that it is well posed, i.e., we establish existence, uniqueness and continuous dependence, in the form of pathwise $L^1$-contraction, as well as some explicit estimates. Our approach is motivated by the theory of stochastic viscosity solutions, which was introduced and developed by two of the authors, to study fully nonlinear first- and second-order stochastic pde with multiplicative noise. This theory relies on special test functions constructed by inverting locally the flow of the stochastic characteristics. For conservation laws this is best implemented at the level of the kinetic formulation which we follow here.

研究动机与目标

• 为具有拟线性乘法粗糙路径依赖的标量守恒律建立一个稳健的路径分明理论，尤其适用于随机情形。
• 定义并严格建立路径分明随机熵解的概念，确保在路径的局部一致收敛下具有稳定性。
• 将先前用于哈密顿-雅可比方程的随机粘性解框架扩展至守恒律的背景中。
• 通过聚焦于路径分明的 $L^1$-收缩而非几乎必然估计，克服伊藤微积分在基于期望的方法中的局限性。
• 在通量存在激波和不连续性的情况下，为解提供稳定且内在的唯一性框架。

提出的方法

• 采用守恒律的动能公式化，以比经典弱解更有效地处理非线性和激波。
• 通过利用特征流的局部反演构造测试函数，引入路径分明的随机熵解。
• 使用 Doss-Sussmann 类型变换，通过变量替换将粗糙路径守恒律与确定性动能方程关联。
• 通过路径分明的 $L^1$-收缩建立适定性，确保对初始数据和路径的连续依赖性。
• 利用随机粘性理论中的技术，特别是从特征流导出的特殊测试函数。
• 通过分析动能测度及其在路径和初始数据扰动下的行为，证明稳定性和内在唯一性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为具有粗糙（随机）通量的标量守恒律发展一种路径分明的熵解理论，以确保稳定性和唯一性？
• RQ2 如何将随机粘性解框架适配至守恒律的背景中，特别是通过动能公式化？
• RQ3 为何伊藤微积分方法在此设定下不足以建立路径分明的唯一性和稳定性？
• RQ4 Doss-Sussmann 变换在将粗糙路径守恒律与确定性动能方程关联中起什么作用？
• RQ5 在从粗糙路径方程到动能公式的转换中，激波特构在何种条件下得以保持？

主要发现

• 本文建立了具有拟线性乘法粗糙路径依赖的标量守恒律的路径分明随机熵解的存在性与唯一性。
• 路径分明的 $L^1$-收缩被证明为关键的稳定性性质，确保在局部一致拓扑下对初始数据和路径的连续依赖性。
• 该理论在路径的局部一致极限下封闭，使其具有鲁棒性，适用于布朗运动或其他粗糙路径的逼近。
• 该方法避免使用基于期望的伊藤微积分估计，因为后者无法为激波保持提供必要的界。
• 通过特征流的变换 $u = ilde{\rho}(v,t)$ 一般不保持激波，除非强迫项为线性，这使得一种朴素的方法失效。
• 推导出显式估计，控制解之间 $L^1$-范数的差异，确认了解概念的内在稳定性。