[论文解读] Scaling entropy and automorphisms with purely point spectrum

A. M. Vershik|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2010

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 15被引用 9

一句话总结

该论文引入了尺度熵作为保测度自同构的度量不变量，通过平均可容许度量定义了一组 ε-熵。关键结果是：一个变换具有纯点谱的充要条件是其 ε-熵的尺度序列有界。

ABSTRACT

We study the dynamics of the metrics generated by measure preserving transformations. We consider a sequence of average metrics and define the corresponding sequence of $ε$-entropies ({\it scaling sequence}) of the measure with respect to the mean metrics. The main result claims that scaling sequences of an automorphism with respect to any {\it admissible metric} is bounded if and only if the automorphism has discrete spectrum. This gives a non-spectral criterion of the discreteness of the spectrum of an automorphism. The related result was discussed in \cite{Fe} but our approach is different. This article is one in the series of papers about asymptotic theory of sequences of the metric compacts with measure and its role in dynamics.

研究动机与目标

• 通过平均度量开发一种新的基于度量的不变量，用于在遍历理论中分类自同构。
• 解决长期悬而未决的问题：确定帕斯卡自同构是否具有纯点谱或连续谱。
• 通过使用平均度量而非划分来引入尺度熵，推广柯尔莫哥洛夫熵。
• 基于平均度量下 ε-熵的渐近增长，建立纯点谱的判别准则。
• 提供一个适用于非平稳阿迪克变换及其他具有复杂谱结构的系统的框架。

提出的方法

• 将可容许度量定义为相对于自同构满足特定正则性条件的可测伪度量。
• 从给定的可容许度量 ρ 构造平均度量 ρⁿ_T(x,y) = (1/n)Σₖ₌₀ⁿ⁻¹ ρ(Tᵏx, Tᵏy)。
• 计算度量空间关于平均度量的 ε-熵 H_ε(ρⁿ_T, μ)。
• 将 H_ε(ρⁿ_T, μ) 随 n 增加而增长的归一化结果定义为尺度序列，其结果与可容许度量的选择无关。
• 利用该序列的渐近行为，将尺度熵定义为自同构的新不变量。
• 证明：尺度序列有界当且仅当自同构具有纯点谱，从而推广了费伦茨伊的复杂度准则。

实验结果

研究问题

• RQ1 自同构的谱类型能否通过可容许度量平均下 ε-熵的渐近增长来表征？
• RQ2 具有纯点谱的自同构的 ε-熵尺度序列是否为有界？
• RQ3 平均度量构造是否能产生一个行为良好的不变量，以区分离散谱与连续谱？
• RQ4 该判别准则能否应用于帕斯卡自同构，以确定其谱是纯点还是连续？
• RQ5 与库什尼连科的序列熵或基于划分的熵等传统方法相比，尺度熵框架有何异同？

主要发现

• 关于平均度量的 ε-熵尺度序列有界，当且仅当自同构具有纯点谱。
• 尺度序列的渐近增长速率与可容许度量的选择无关，使其成为自同构的稳健不变量。
• 在许多情况下，平均度量构造保持了可容许性，包括在康托空间上使用 2-进度量的情形，后者在帕斯卡自同构中被使用。
• 该方法推广了柯尔莫哥洛夫熵，并提供了比基于划分的熵更强的不变量，因为它捕捉了更多的动力学信息。
• 该框架适用于非平稳阿迪克变换，如帕斯卡自同构，并在尺度序列增长时为证明连续谱提供了路径。
• 为帕斯卡自同构开发的组合工具表明，尺度序列可能以对数方式增长，但仅凭此尚不足以在未分析平均度量的情况下得出非离散性的结论。