[论文解读] Scaling limit of the random walk in random environment in the subdiffusive case

Loïc de Raphélis|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2016

Stochastic processes and statistical mechanics被引用 3

一句话总结

本文在次扩散 regime 下建立了随机环境中随机游走在 Galton-Watson 树上的标度极限。证明了归一化高度函数收敛于一个非负部分稳定 Lévy 过程的连续时间高度过程，同时归一化范围收敛于该过程所编码的实树。

ABSTRACT

We consider a random walk on a Galton-Watson tree in random environment, in the subdiffusive case. We prove the convergence of the renormalised height function of the walk towards the continuous-time height process of a spectrally positive strictly stable L\'evy process, jointly with the convergence of the renormalised range of the walk towards the real tree coded by the latter continuous-time height process.

研究动机与目标

• 理解在次扩散情形下，随机环境中随机游走在 Galton-Watson 树上的标度极限。
• 识别在次扩散 regime 下，游走归一化高度函数的极限过程。
• 建立游走归一化范围与由非负部分稳定 Lévy 过程编码的实树之间的联合收敛性。
• 通过连续时间高度过程将随机游走的 quenched 行为与随机树的几何结构联系起来。

提出的方法

• 分析在随机环境中 Galton-Watson 树上的随机游走，重点关注次扩散 regime。
• 对游走的高度函数应用归一化技术，以提取标度极限。
• 利用与非负部分稳定 Lévy 过程相关的连续时间高度过程理论作为极限对象。
• 通过高度过程对实树的编码，建立归一化范围与高度函数的联合收敛性。
• 运用随机过程中的工具，包括 Lévy 过程和随机树构造，分析游走的 quenched 概率律。
• 依赖于在适当标度下，离散随机树结构收敛于其连续对应物的结论。

实验结果

研究问题

• RQ1 在随机环境中，次扩散随机游走在 Galton-Watson 树上的高度函数的标度极限是什么？
• RQ2 在次扩散情形下，随机游走的范围在归一化后如何表现？
• RQ3 该极限对象能否被描述为由连续时间高度过程编码的实树？
• RQ4 游走的归一化高度与范围的联合收敛行为如何？
• RQ5 游走的次扩散性质如何影响极限过程的结构？

主要发现

• 随机游走的归一化高度函数在分布上收敛于一个非负部分严格稳定 Lévy 过程的连续时间高度过程。
• 游走的归一化范围收敛于由极限高度过程编码的实树。
• 在环境的 quenched 概率律下，建立了高度函数与范围的联合收敛性。
• 极限过程由一个稳定指数表征，反映了游走的次扩散性质。
• 收敛在函数意义下成立，意味着游走轨迹与空间范围具有统一的标度极限。
• 该结果识别出一个统一的极限对象，同时捕捉了游走在次扩散 regime 下的时间演化与空间范围。