[论文解读] Scaling limits of disordered systems and disorder relevance

Francesco Caravenna, Rongfeng Sun+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2016

Theoretical and Computational Physics参考文献 23被引用 4

一句话总结

本文建立了无序相关性与无序系统中非平凡随机连续极限存在性之间的联系。通过分析弱无序和晶格间距趋于零时无序系统的标度极限，识别出在临界无序相关性处的普遍相变，特别是在二维定向聚合物和钉扎模型中，相变发生在临界标度无序强度 $\hat{\beta}_c = 1$ 处。该框架使得对临界点和自由能行为的更精确渐近分析成为可能。

ABSTRACT

We review recent works where we have shown that disorder relevance is closely related to the existence of non-trivial, random continuum limits

研究动机与目标

• 建立一个新框架，将无序相关性与无序统计力学模型中非平凡随机连续极限的存在性联系起来。
• 利用标度极限作为工具，分析哈里斯判据失效的临界情形 $\nu = 2/d$。
• 通过将离散模型与连续对应物联系起来，推导出钉扎模型和定向聚合物模型中临界点的精确渐近表达式。
• 证明在二维情况下，弱无序与强无序之间的相变发生在普遍的临界标度无序强度 $\hat{\beta}_c = 1$ 处。
• 扩展连续极限的应用，以提取定量相图信息，特别是在临界相关模型中。

提出的方法

• 在具有各向异性标度的晶格 $\Omega_\delta$ 上定义一个纯统计力学模型，并通过具有零均值和单位方差的独立同分布 $\omega_x$ 引入 quenched 无序。
• 引入具有哈密顿量 $\sum_x (\beta\omega_x + h)\sigma_x$ 的无序吉布斯测度 $\mathbb{P}^\omega_{\Omega_\delta;\beta,h}$，并定义配分函数 $Z^\omega_{\Omega_\delta;\beta,h}$。
• 假设 $k$-点关联函数 $\psi^{(k)}_{\Omega_\delta}$ 在 $L^2(\Omega^k)$ 中收敛于极限 $\boldsymbol{\psi}^{(k)}_\Omega$，收敛尺度为幂律 $\delta^{-\gamma k}$，并通过条件 (1.5) 控制衰减。
• 通过极限关联函数 $\boldsymbol{\psi}^{(k)}_\Omega$ 构造连续配分函数 $\boldsymbol{Z}^W_{\Omega;\hat{\beta},\hat{h}}$，表示为级数形式。
• 利用连续配分函数的收敛性，分析弱无序和小 $\beta$ 极限下离散模型的自由能和相变。
• 通过标度极限，建立离散模型临界点 $h_c(\beta)$ 与连续自由能 $\mathbf{F}(\hat{\beta}, \hat{h})$ 之间的定量联系，证明极限 $\lim_{\beta \to 0} \beta^{-2\alpha/(2\alpha-1)} \widetilde{L}(1/\beta)^{-1} h_c(\beta)$ 存在。

实验结果

研究问题

• RQ1 非平凡随机连续极限的存在是否意味着无序系统中的无序相关性？
• RQ2 当哈里斯判据失效的临界情形 $\nu = 2/d$ 时会发生什么？
• RQ3 标度极限框架能否揭示二维无序系统中弱无序与强无序之间普遍相变？
• RQ4 如何利用连续极限推导出钉扎模型中临界点 $h_c(\beta)$ 的精确渐近表达式？
• RQ5 在临界相关聚合物模型中，弱无序与强无序之间的相变是否存在普遍临界值 $\hat{\beta}_c = 1$？

主要发现

• 在临界情形 $\nu = 2/d$ 下，非平凡随机连续极限的存在性等价于无序相关性，从而为无序相关性提供了一个新判据。
• 在二维定向聚合物中，当无序按 $\hat{\beta}/\mathbf{R}_N$ 标度时，弱无序与强无序之间的相变在 $\hat{\beta}_c = 1$ 处发生，且为普遍相变。
• 对于重叠指数 $\alpha \in (1/2,1)$ 的钉扎模型，临界点满足 $h_c(\beta) \sim \beta^{2\alpha/(2\alpha-1)} \widetilde{L}(1/\beta)$，且极限 $\lim_{\beta \to 0} \beta^{-2\alpha/(2\alpha-1)} \widetilde{L}(1/\beta)^{-1} h_c(\beta)$ 存在，并等于 $\mathbf{h}_c(\hat{\beta})$。
• 在适当的标度下，离散模型的自由能收敛于连续模型的自由能，极限形式为 $\mathbf{F}(\hat{\beta}, \hat{h}) = \lim_{\beta \to 0} F(\beta, \beta^{2\alpha/(2\alpha-1)} \widetilde{L}(1/\beta)^{-1} \hat{h}) / \beta^{2/(2\alpha-1)} \widetilde{L}(1/\beta)^2$。
• 该框架表明，1D 定向聚合物 ($\lim_{\beta \to 0} \beta^{-4} f(\beta)$) 和 2D 随机场伊辛模型 ($\lim_{h \to 0} h^{-1/15} \langle \sigma_0 \rangle_{\beta_c, h}$) 也应存在类似的普遍极限，其值由连续自由能决定。
• 定理 3.1 中的定量估计验证了标度极限和极限交换的有效性，表明对小 $\delta$ 有 $\mathbf{F}(\hat{\beta}, \hat{h} - \eta) \leq \delta^{-1} F(\hat{\beta} \delta^{\alpha - 1/2} L(1/\delta), \hat{h} \delta^{\alpha} L(1/\delta)) \leq \mathbf{F}(\hat{\beta}, \hat{h} + \eta)$。