[论文解读] Scaling limits of general population processes - Wright-Fisher and branching processes in random environment

Vincent Bansaye, Maria-Emilia Caballero+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 7, 2018

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 7被引用 3

一句话总结

本文提出了一套统一的框架，用于研究随机环境中离散种群过程的扩散极限，通过特征收敛推导出带跳的扩散过程。该研究将经典的Wright-Fisher和Galton-Watson过程推广至独立同分布的随机环境，利用新颖的泛函分析技术与Laplace指数方法，证明了其在分布收敛于带跳的随机微分方程（SDEs）的性质。

ABSTRACT

Our motivation comes from the large population approximation of individual based models in population dynamics and population genetics. We propose a general method to investigate scaling limits of finite dimensional population size Markov chains to diffusion with jumps. The statements of tightness, identification and convergence in law are based on the convergence of suitable characteristics of the transition of the chain and strongly exploit the structure of the population processes defined recursively as sums of independent random variables. These results allow to reduce the convergence of characteristics of semimartingales to analytically tractable functional spaces. We develop two main applications. First, we extend the classical Wright-Fisher diffusion approximation to independent and identically distributed random environment. Second, we obtain the convergence in law of generalized Galton-Watson processes with interactions and random environment to the solution of stochastic differential equations with jumps.

研究动机与目标

• 开发一种通用方法，用于推导种群动力学中具有随机环境的有限维马尔可夫链的扩散极限。
• 将经典的Wright-Fisher和Galton-Watson过程推广至独立同分布的随机环境设定。
• 通过特征收敛，建立广义种群过程在分布收敛于带跳扩散SDE的性质。
• 通过引入新的测试函数函数空间，克服传统鞅问题与紧致性方法的局限性。
• 利用个体事件的独立性结构与Laplace指数技术，处理独立同分布随机变量之和的性质。

提出的方法

• 提出一种基于与马尔可夫链相关联的半鞅特征收敛的新收敛准则。
• 使用一个函数空间H，其在在零点处趋于零的正则函数中稠密，且其范数满足||H|| = sup_u ||H(u)/(1∧|u|²)||_∞。
• 应用Laplace指数表征方法，处理过程增量中独立非负随机变量之和的性质。
• 引入截断与平滑策略处理测试函数，以应对跳跃分量并确保收敛性。
• 采用时间标度v_N → ∞及重标度Z_{[v_N t]}^N / N，推导出扩散极限。
• 基于三重特征（漂移、扩散、跳跃分量）的渐近行为，依赖紧致性与弱收敛论证。

实验结果

研究问题

• RQ1 经典的Wright-Fisher扩散近似能否推广至独立同分布的随机环境？
• RQ2 在何种条件下，具有随机环境的广义Galton-Watson过程会收敛于带跳扩散SDE？
• RQ3 如何通过转移核的特征，刻画具有依赖性或非马尔可夫结构的种群过程的收敛性？
• RQ4 何种测试函数的函数空间可确保在存在跳跃与随机环境时，相关鞅问题的收敛性？
• RQ5 在保持收敛于连续状态带跳过程的前提下，能否放宽分支性质的限制？

主要发现

• 当N → ∞时，重标种群过程序列（Z_{[v_N t]}^N / N : t ≥ 0）在分布收敛于一个带跳扩散过程。
• 极限SDE由(v_N, L^N)导出的极限三重特征表征，将Lamperti框架推广至非分支、非稳定过程。
• 在环境与个体事件分布的轻微矩与正则性条件下，收敛性成立。
• 该方法通过使用特定构造的函数空间H（其范数为||H|| = sup_u ||H(u)/(1∧|u|²)||_∞）避免了强矩假设。
• 该方法成功处理了爆炸性与非稳定极限过程，扩展了经典连续状态分支过程（CSBP）极限的范围。
• 技术引理建立了Laplace指数差值的统一收敛性与跳跃分量的有界性，确保了紧致性与极限的唯一性识别。