[论文解读] Scenery entropy as an invariant of RWRS processes

Tim Austin|arXiv (Cornell University)|May 6, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 34被引用 4

一句话总结

本文引入了场景熵（scenery entropy）作为随机游走于随机场景（RWRS）过程中的一种新的同构不变量，证明其在一大类例子中能捕捉到场景过程的柯尔莫哥洛夫-施瓦茨熵。通过证明不同场景熵产生不可同构的连续统多组非伯努利K-自同构，该工作建立了一个稳健的不变量，用于区分此类系统，其成立条件依赖于局部时的不变性原理。

ABSTRACT

Probabilistic models of random walks in random sceneries give rise to examples of probability-preserving dynamical systems. A point in the state spaces consists of a walk-trajectory and a scenery, and its `motion' corresponds to shifting the time-origin. These models were proposed as natural examples of non-Bernoulli K-automorphisms by Adler, Ornstein and Weiss. This was proved in a famous analysis by Kalikow using Ornstein's Very Weak Bernoulli characterization of Bernoulli processes. Since then, various authors have generalized this construction to give other examples, including some smooth examples due to Katok and Rudolph. However, the methods used to prove non-Bernoullicity do not obviously show that these examples are distinct from one another. This paper introduces a new isomorphism-invariant of probability-preserving systems, and shows that in a large class of the above examples it essentially captures the Kolmogorov-Sinai entropy of the scenery process alone. As a result, constructions that use different scenery-entropies give continuum-many non-isomorphic examples. Conditionally on an invariance principle for certain local times, these include a continuum of distinct smooth non-Bernoulli K-automorphisms on a fixed compact manifold.

研究动机与目标

• 识别随机游走于随机场景（RWRS）过程中产生的保测度动力系统的新同构不变量。
• 解决通过RWRS构造的非伯努利K-自同构的区分问题，该问题此前的某些方法无法解决。
• 证明在特定条件下，场景熵可作为这些系统同构类的完备不变量。
• 将RWRS系统的分类拓展至现有不变量无法覆盖的范围，特别是在光滑及高维情形下。

提出的方法

• 基于轨迹与场景在乘积空间 $\{\pm1\}^\mathbb{Z} \times C^\mathbb{Z}$ 中的打包结构，提出一种新的几何不变量，利用汉明距离与测度集中性。
• 分析测度 $\rho_N$ 按场景函数 $F_c$ 索引的分量分解，其中 $F_c$ 是行走测度在场景映射下的像。
• 通过关于此类 $F_c$-图的组合估计，建立指数集中分量数量的上界。
• 应用条件测度论证，将此类分量的数量与场景熵 $h(\mu,S)$ 关联，假设存在指数集中性。
• 利用关于局部时的猜想不变性原理，证明该不变量的主导增长阶为 $\exp(2R h(\mu,S) \sqrt{N})$，从而将其与场景熵联系起来。
• 证明当场景熵不同时，所得系统不可同构，从而产生一个连续统多组不同的非伯努利K-自同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 场景熵能否作为RWRS过程的完备同构不变量，用以区分非伯努利K-自同构？
• RQ2 基于打包与集中性的所提几何不变量，在大N极限下是否渐近反映场景熵？
• RQ3 该不变量在光滑或高维随机游走（如 $\mathbb{Z}^2$ 中的游走）情形下可扩展到何种程度？
• RQ4 是否存在场景熵相同但同构类型不同的系统，表明需要更强的不变量？
• RQ5 该不变量能否区分卡利科夫原始论证失效的情形，如 $p$-稳定或瞬时随机游走？

主要发现

• 在局部时的条件不变性原理下，场景熵 $h(\mu,S)$ 被证明是大类RWRS过程的同构不变量。
• 新不变量的渐近增长为 $\exp(2R h(\mu,S) \sqrt{N})$，与测度 $\rho_N$ 中指数集中分量的数量一致。
• 证明了不同场景熵的系统不可同构，从而在固定紧流形上产生连续统多组不同的非伯努利K-自同构。
• 该方法证明此类分量数量的上界为 $\exp(\mathrm{O}(\sqrt{N}))$，主导项由 $h(\mu,S)$ 决定。
• 该方法为区分传统不变量（如非常弱伯努利性质）无法检测不可同构性的系统提供了新工具。
• 猜想表明该不变量可推广至 $p$-稳定游走和 $\mathbb{Z}^2$-取值游走，但后者可能不再保持对过去与未来的强记忆，暗示需要新的不变量。