[论文解读] Schémas de Hilbert invariants et théorie classique des invariants

Ronan Terpereau|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 41被引用 4

一句话总结

本论文研究不变 Hilbert 空间及其与经典不变量理论的联系，重点关注 GL(V)、O(V)、SO(V) 和 Sp(V) 在表示空间及其零锥上的作用。通过几何不变量理论与等变态射，作者对零锥和 Hilbert 空间的分量进行了分类，证明了各种情形下的正规性、Cohen-Macaulay 性质以及奇点集，尤其关注低维表示的情形。

ABSTRACT

Let W be an affine variety equipped with an action of a reductive group G. The invariant Hilbert scheme is a moduli space which classifies the G-stable closed subschemes of W such that the affine algebra is the direct sum of simple G-modules with previously fixed finite multiplicities. In this thesis, we first study the invariant Hilbert scheme, denoted H. It parametrizes the GL(V)-stable closed subschemes Z of W=n1 V \oplus n2 V^* such that k[Z] is isomorphic to the regular representation of GL(V) as GL(V)-module. If dim(V)<3, we show that H is a smooth variety, so that the Hilbert-Chow morphism γ: H -> W//G is a resolution of singularities of the quotient W//G. However, if dim(V)=3, we show that H is singular. When dim(V)<3, we describe H by equations and also as the total space of a homogeneous vector bundle over the product of two Grassmannians. Then we consider the symplectic setting by letting n1=n2 and replacing W by the zero fiber of the moment map μ: W -> End(V). We study the invariant Hilbert scheme H' which parametrizes the subschemes included in μ^{-1}(0). We show that H' is always reducible, but that its main component Hp' is smooth if dim(V)<3. In this case, the Hilbert-Chow morphism is a resolution of singularities (sometimes a symplectic one) of the quotient μ^{-1}(0)//G. When dim(V)=3, we describe Hp' as the total space of a homogeneous vector bundle over a flag variety. Finally, we get similar results when we replace GL(V) by some other classical group (SL(V), SO(V), O(V), Sp(V)) acting first on W=nV, then on the zero fiber of the moment map.

研究动机与目标

• 研究与经典群的有限维表示相关的不变 Hilbert 空间的结构。
• 分析 GL(V)、O(V)、SO(V) 和 Sp(V) 在表示空间上的群作用的零锥。
• 确定零锥及其相关空间的不可约分量、奇点集以及几何性质（正规性、Cohen-Macaulay 性质）。
• 建立零锥几何与经典不变量理论之间的联系，尤其关注低维情形。
• 研究 Hilbert 空间作为商空间 W/G 的奇点解析的性质。

提出的方法

• 利用不变量理论与 Borel 子群作用，从 Hilbert 空间构造到 Grassmannian 的等变态射。
• 应用约化原理简化对 Hilbert 空间的分析，尤其针对 SL(V) 和 GL(V) 的情形。
• 在辛作用背景下分析指标映射与商态射，尤其关注群作用下 μ⁻¹(0) 的情形。
• 通过显式矩阵描述与秩条件，定义并研究低维情形（dim V = 2, 3, 4）下零锥的分量。
• 运用理想、根式与初等分解等代数工具，确定零锥的约化结构及其不可约性。
• 采用纤维积分解与交集理论等几何技术，计算奇点集与余维数。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 GL(V)、O(V)、SO(V) 和 Sp(V) 在 V⊕n₁ ⊕ V*⊕n₂ 或 μ⁻¹(0) 上的作用，零锥 Z₀ 的不可约分量是什么？
• RQ2 零锥与 Hilbert 空间的奇点集如何表现，其在不同情形下的余维数是多少？
• RQ3 在何种条件下 Hilbert 空间或零锥是正规的、Cohen-Macaulay 的或约化的？
• RQ4 不变 Hilbert 空间 Hilbᴳ(W) 作为 W/G 的奇点解析，其结构如何？
• RQ5 零锥的分量如何相交，这些交集的维数与奇点类型是什么？

主要发现

• 当 dim(V) = 2 且 GL(V) 作用于 V⊕n₁ ⊕ V*⊕n₂ 时，零锥 Z₀ 有两个不可约分量，其交集为一个在原点处奇点的三维锥。
• 当 dim(V) = 3 且 GL(V) 作用于 V⊕n₁ ⊕ V*⊕n₂ 时，零锥 Z₀ 是八个维数为 9 的不可约分量的并集，所有分量均为正规且 Cohen-Macaulay。
• 当 O(V) 与 SO(V) 作用于 V⊕n′ 且 dim(V) = 2 时，零锥 Z₀ 是非约化的，为两个由非约化理想定义的“粗线”之并。
• 当 Sp(V) 作用于 V⊕n′ 且 dim(V) = 4 时，在情形 5 中，零锥 Z 是一个正规、Cohen-Macaulay、不可约的代数簇，其奇点集余维数为 3。
• 零锥 Z₀ 的奇点集是其不可约分量两两交集的并集，在大多数研究情形中，其在 Z₀ 中的余维数为 1。
• 当 dim(V) = 3 且在情形 3 与 4 中，Z_i 为不可约但非约化的，其约化结构为正规、Cohen-Macaulay，且仅在原点处奇点。