[论文解读] Schematic HN stratification for families of principal bundles and lambda modules

Sudarshan Gurjar, Nitin Nitsure|arXiv (Cornell University)|Aug 28, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 5被引用 3

一句话总结

本论文在特征零的曲线上建立了主G丛族的图式Harder-Narasimhan（HN）分层，证明每个HN分层均为具有普遍性质的局部闭子概形。进一步将该结果推广至任意维数和混合特征下的纯Λ-模的平坦族，表明具有固定HN类型的Λ-模构成一个Artin堆栈。

ABSTRACT

For a family of principal bundles with a reductive structure group on a family of curves in characteristic zero, it is known that the Harder Narasimhan type of its restriction to each fiber varies semicontinuously over the parameter scheme of the family. This defines a stratification of the parameter scheme by locally closed subsets, known as the Harder-Narasimhan stratification. In this note, we show how to endow each Harder-Narasimhan stratum with the structure of a locally closed subscheme of the parameter scheme, which enjoys the universal property that under any base change the pullback family admits a relative Harder-Narasimhan reduction with a given Harder-Narasimhan type if and only if the base change factors through the schematic stratum corresponding to that Harder-Narasimhan type. This has the consequence that principal bundles of a given Harder Narasimhan type form an Artin stack. We also prove a similar result showing the existence of a schematic Harder-Narasimhan filtration for flat families of pure sheaves of $Λ$-modules (in the sense of Simpson) in arbitrary dimensions and in mixed characteristic, generalizing the result for sheaves of ${\mathcal O}$-modules proved earlier by Nitsure. This again has the implication that $Λ$-modules of a fixed Harder-Narasimhan type form an Artin stack.

研究动机与目标

• 为特征零的曲线上主G丛族的Harder-Narasimhan分层构造一个图式结构。
• 证明每个HN分层具有普遍性质：当且仅当拉回后的族具有恒定HN类型时，基变换才可因子化通过该分层。
• 将图式HN分层推广至任意维数和混合特征下，对射影概形上的纯Λ-模族（Simpson意义下）进行构造。
• 证明具有固定HN类型的Λ-模子堆栈为代数堆栈，推广Nitsure对Λ = Ó的结果。
• 在适当条件下，建立此类堆栈的有界性及有限型图册的存在性。

提出的方法

• 利用主G丛的规范约化，在闭正Weyl房τ ⊂ ℚ ⊗ X_*(T) 中定义HN类型。
• 通过模理论的普遍性质，将图式分层S^τ(E) ⊂ S 构造为局部闭子概形。
• 应用Hilbert概形技巧，并利用参数化HN过滤的Quot概形的无分支性，证明图式结构。
• 对HN过滤的长度进行归纳，通过逐次商化将问题约化为长度更低的情形。
• 利用分裂几乎多项式微分算子层Λ的存在性，定义Λ-模结构及纯度条件。
• 证明相对HN过滤具有唯一性且与基变换相容，从而确保图式分层的良定义性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为一族主G丛的Harder-Narasimhan分层赋予一个自然的概形结构？
• RQ2 图式HN分层是否具有普遍性质，能够分类那些允许具有固定类型的相对HN过滤的基变换？
• RQ3 图式HN分层能否推广至混合特征和任意维数下的Λ-模族？
• RQ4 在适当的平坦性与纯度条件下，具有固定HN类型的Λ-模是否构成一个代数堆栈？
• RQ5 在何种条件下，具有固定HN类型的Λ-模堆栈会存在有限型图册？

主要发现

• 在主G丛族的参数概形S中，每个Harder-Narasimhan分层S^τ(E) 均唯一地赋予一个局部闭子概形结构，且满足所需的普遍性质。
• 通过在HN过滤长度上进行降阶归纳，利用Quot概形与无分支态射，构造了Λ-模的图式HN分层。
• 参数化第一个HN商的Quot概形的切空间为零，意味着该Quot态射是无分支的，因而为闭浸入。
• 具有固定HN类型τ的Λ-模堆栈ΛCoh_{X/S}^τ 是Artin堆栈ΛCoh_{X/S} 的局部闭子堆栈。
• 当半稳定Λ-模具有有界性时，每个堆栈ΛCoh_{X/S}^τ 在S上存在有限型图册，推广了Nitsure的结果。
• 该构造适用于任意特征（包括混合特征），并适用于局部诺戴安基底上的射影概形族。