[论文解读] Schröder Paths and Pattern Avoiding Partitions

Sherry H.F. Yan|ArXiv.org|May 16, 2008

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 15被引用 9

一句话总结

本文通过UH-free Schröder路径作为中间结构，建立了[n+1]的12312-避免与12321-避免分拆之间的一一对应关系，以及不含偶数层峰点的Schröder路径。通过将此类分拆按块数进行细化计数，可转化为对这些路径中峰点数的计数，而不可约分拆则通过生成函数与斜Dyck路径相关联。

ABSTRACT

In this paper, we show that both 12312-avoiding partitions and 12321-avoiding partitions of the set $[n+1]$ are in one-to-one correspondence with Schröder paths of semilength $n$ without peaks at even level. As a consequence, the refined enumeration of 12312-avoiding (resp. 12321-avoiding) partitions according to the number of blocks can be reduced to the enumeration of certain Schröder paths according to the number of peaks. Furthermore, we get the enumeration of irreducible 12312-avoiding (resp. 12321-avoiding) partitions, which are closely related to skew Dyck paths.

研究动机与目标

• 建立[n+1]的12312-避免与12321-避免分拆之间，与不含偶数层峰点的Schröder路径之间的一一对应关系。
• 通过将此类模式避免分拆按块数进行细化计数，将其与Schröder路径中的峰点数关联。
• 刻画不可约12312-与12321-避免分拆，并通过生成函数将其与斜Dyck路径关联。
• 通过UH-free Schröder路径作为中间组合结构，提供一种构造性双射。
• 通过格路理论与生成函数恒等式，统一两类不同分拆模式的计数。

提出的方法

• 定义分拆的规范序列形式，并利用左到右最大值将分拆分解为具有内部词的块。
• 通过追踪每个左到右最大值之后的元素数量，构造从12312-避免分拆到UH-free Schröder路径的映射σ。
• 对12321-避免分拆定义映射φ，使用相同的结构分解方式，但内部词为递增。
• 引入变换ψ，通过重新排列步长，将UH-free Schröder路径映射为不含偶数层峰点的Schröder路径。
• 使用生成函数f(x)和f′(x)分别建模UH-free路径与不可约路径的生成系列。
• 推导出闭式生成函数：f(x) = (1−x−√(1−6x+5x²))/(2(x−x²)) 与 f′(x) = 2/(1+x+√(1−6x+5x²))，并将其与斜Dyck路径关联。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在[n+1]的12312-避免（或12321-避免）分拆与不含偶数层峰点的Schröder路径之间的组合双射？
• RQ2 能否将此类分拆按块数进行细化计数，转化为Schröder路径中的峰点计数？
• RQ3 不可约12312-与12321-避免分拆与斜Dyck路径之间存在何种联系？
• RQ4 UH-free Schröder路径与不可约路径的生成函数如何与已知组合序列关联？
• RQ5 分拆块中内部词的何种结构特性决定了此情境下的模式避免？

主要发现

• 具有k+1个块的12312-避免（或12321-避免）[n+1]分拆的数量，等于半长为n的UH-free Schröder路径中具有k个峰点的数量，其表达式为∑_{j=k}^{n} (1/j) * (j choose k) * (j choose k−1) * (n choose j)。
• 存在一个双射，将[n+1]的12312-避免（或12321-避免）分拆与半长为n、不含偶数层峰点的Schröder路径一一对应。
• UH-free Schröder路径的生成函数为f(x) = (1−x−√(1−6x+5x²))/(2(x−x²))，与序列A006318一致。
• 不可约12312-避免（或12321-避免）[n+1]分拆的生成函数为f′(x) = 2/(1+x+√(1−6x+5x²))，其对应于半长为n、以向下步结束的斜Dyck路径数量（A033321）。
• 不可约12312-与12321-避免分拆与不含水平步长为1的峰点的UH-free Schröder路径之间存在双射对应。
• 通过所构造的双射，12312-与12321-避免分拆按块数进行细化计数，可完全归约为Schröder路径中的峰点计数。