[论文解读] Schrödinger operators on fractal lattices with random blow-ups

Christophe Sabot|ArXiv.org|Jan 18, 2002

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 12被引用 3

一句话总结

本文研究通过有限分支自相似集的随机放大构造的无界分形晶格上薛定谔算符的谱性质。利用一列随机放大，证明谱几乎必然为确定性且与态密度的支撑一致。关键地，若态密度仅由诺伊曼-狄利克雷本征求解生成，则谱几乎必然为纯点谱，且本征函数具有紧支集。

ABSTRACT

Starting from a finitely ramified self-similar set $X$ we can construct an unbounded set $X_{}$ by blowing-up the initial set $X$. We consider random blow-ups and prove elementary properties of the spectrum of the natural Laplace operator on $X_{}$ (and on the associated lattice). We prove that the spectral type of the operator is almost surely deterministic with the blow-up and that the spectrum coincides with the support of the density of states almost surely (actually our result is more precise). We also prove that if the density of states is completely created by the so-called Neuman-Dirichlet eigenvalues, then almost surely the spectrum is pure point with compactly supported eigenfunctions.

研究动机与目标

• 分析通过有限分支自相似集的随机放大构造的无界分形晶格上拉普拉斯算符的谱性质。
• 确定在随机放大下，谱及其分解（绝对连续、奇异连续、纯点）是否几乎必然为确定性。
• 研究谱为纯点谱且本征函数具有紧支集的条件。
• 阐明诺伊曼-狄利克雷本征求解在生成态密度和塑造谱类型中的作用。
• 将谱测度的理解从态密度扩展至绝对连续、奇异连续和纯点分量。

提出的方法

• 通过序列 $\omega \in \{1,\ldots,N\}^\mathbb{N}$ 对基自相似集 $X$ 进行迭代随机放大，构造无界分形晶格 $X_{<\infty>}$.
• 通过在每一层缩放初始算符 $H_{<0>}$ 在 $X$ 上的算符，定义 $X_{<\infty>}$ 上的自然拉普拉斯算符 $H_{<\infty>}$.
• 将态密度 $\mu$ 定义为有限层近似 $X_{<n>}$ 上的归一化本征求解计数测度的弱极限，即 $H_{<n>}$.
• 将诺伊曼-狄利克雷（N-D）本征求解密度 $\mu^{ND}$ 定义为具有混合边界条件的本征求解计数测度的极限。
• 通过在 $\omega$ 上取期望，利用在边界点处的狄拉克函数对应的谱测度 $\sigma_\cdot(\delta_x)$，定义分量测度 $\mu^{ac}, \mu^{sc}, \mu^{pp}, \tilde{\mu}^{pp}$.
• 通过分析这些分量测度的支撑与类型，并将其与 $H_{<\infty>}$ 的谱分解关联，证明谱性质的几乎必然性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在随机放大的分形晶格上，拉普拉斯算符的谱是否几乎必然为确定性？
• RQ2 在随机放大下，$H_{<\infty>}$ 的谱是否几乎必然等于态密度的支撑？
• RQ3 在何种条件下，谱为纯点谱且本征函数具有紧支集？
• RQ4 尽管放大过程具有随机性，谱类型（ac, sc, pp）是否仍可几乎必然确定？
• RQ5 诺伊曼-狄利克雷本征求解在决定整体谱结构中起何种作用？

主要发现

• 几乎必然地，$H_{<\infty>}$ 的谱等于态密度 $\mu$ 的支撑，即 $\Sigma = \mathrm{supp}(\mu)$ 几乎必然成立。
• $H_{<\infty>}$ 的谱类型（ac, sc, pp）几乎必然为确定性：存在确定性集合 $\Sigma_{ac}, \Sigma_{sc}, \Sigma_{pp}$，使得谱分解几乎必然等于这些集合。
• 若态密度 $\mu$ 完全由诺伊曼-狄利克雷本征求解生成（即 $\mu = \mu^{ND}$），则谱几乎必然为纯点谱，且本征函数具有紧支集。
• 测度 $\tilde{\mu}^{pp}$（捕捉未由 N-D 本征求解诱导的纯点分量）是良好定义的，可能非零，但目前尚无 $\tilde{\Sigma}_{pp} \neq \emptyset$ 的显式例子。
• 分量测度 $\mu^{ac}, \mu^{sc}, \mu^{pp}, \tilde{\mu}^{pp}$ 通过在 $X_{<0>}$ 上对谱测度取期望定义，其支撑恰好对应于几乎必然的谱分量 $\Sigma_{ac}, \Sigma_{sc}, \Sigma_{pp}, \tilde{\Sigma}_{pp}$。
• 通过在限制算符 $R_{X_{<0>}}$ 上类似地定义谱测度与迹期望，结果可推广至连续情形。