[论文解读] Scrambling and Complexity in Phase Space

Quntao Zhuang, Thomas Schuster+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 11, 2019

Computability, Logic, AI Algorithms被引用 4

一句话总结

本文提出了一种基于位移算符的连续变量（CV）非时间有序相关函数（OTOC），用于表征无限维相空间中的量子信息scrambling。它识别出两种不同类型的scrambling——单模内的scrambling与多模间的scrambling，并通过一种新型框架势能，建立了连续变量单位酉k-设计的类比，证明了随机高斯电路表现出由蝴蝶速度、增长指数和扩散常数决定的流体动力学算符传播行为。

ABSTRACT

The study of information scrambling in many-body systems has sharpened our understanding of quantum chaos, complexity and gravity. Here, we extend the framework for exploring information scrambling to infinite dimensional continuous variable (CV) systems. Unlike their discrete variable cousins, continuous variable systems exhibit two complementary domains of information scrambling: i) scrambling in the phase space of a single mode and ii) scrambling across multiple modes of a many-body system. Moreover, for each of these domains, we identify two distinct `types' of scrambling; genuine scrambling, where an initial operator localized in phase space spreads out and quasi scrambling, where a local ensemble of operators distorts but the overall phase space volume remains fixed. To characterize these behaviors, we introduce a CV out-of-time-order correlation (OTOC) function based upon displacement operators and offer a number of results regarding the CV analog for unitary designs. Finally, we investigate operator spreading and entanglement growth in random local Gaussian circuits; to explain the observed behavior, we propose a simple hydrodynamical model that relates the butterfly velocity, the growth exponent and the diffusion constant. Experimental realizations of continuous variable scrambling as well as its characterization using CV OTOCs will be discussed.

研究动机与目标

• 将量子信息scrambling的框架从离散变量（DV）系统扩展到具有无限维希尔伯特空间的连续变量（CV）系统。
• 识别并表征CV系统中两种不同的scrambling区域：单模内的相空间scrambling与多模间的scrambling。
• 基于位移算符，开发CV版本的非时间有序相关函数（OTOC）诊断算符传播与复杂度。
• 为连续变量单位酉k-设计引入一种新型框架势能，以表征CV操作集合逼近哈尓测度的程度。
• 通过将蝴蝶速度、增长指数与扩散常数联系起来的流体动力学模型，解释随机局域高斯电路中算符传播与纠缠增长的行为。

提出的方法

• 提出一种基于位移算符的CV OTOC，用于量化相空间中的scrambling，将DV OTOC框架推广至连续自由度。
• 通过在$2k$份复制的希尔伯特空间上定义内积，利用密度矩阵$\rho$与投影算符$P_k$，为CV系统引入一种新型框架势能，以测量与哈尓随机性的偏离程度。
• 推导出框架势能$\mathcal{J}_{\mathcal{E}}^{(k)}(\rho)$的下界，其饱和表明相对于$\rho$的CV $k$-设计。
• 将框架势能应用于位移算符集合$\mathbb{D}_n$在热态$\tilde{\rho}_{n_{\text{th}}}$上的情形，表明当$n \to \infty$时，其成为CV 1-设计。
• 建立一个流体动力学模型以描述随机高斯电路中的算符传播，通过关系式$v_B \sim \sqrt{\lambda D}$将蝴蝶速度$v_B$、增长指数$\lambda$与扩散常数$D$联系起来。
• 利用框架势能与OTOC区分相空间中真正的scrambling（算符传播）与准scrambling（体积保持性畸变）。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在离散变量范式之外，对连续变量系统中的量子信息scrambling进行定量诊断？
• RQ2 CV系统中两种不同的scrambling区域——单模内与多模间——分别是什么？它们的动力学特征有何不同？
• RQ3 单位酉设计的概念如何推广至连续变量系统？新型框架势能在该推广中起什么作用？
• RQ4 在连续变量系统中，随机局域高斯电路的算符传播与纠缠增长由哪些流体动力学参数控制？
• RQ5 位移算符集合$\mathbb{D}_n$在热态上在多大程度上近似CV 1-设计？其依赖关系如何随$n$与$n_{\text{th}}$变化？

主要发现

• 基于位移算符的所提CV OTOC成功捕捉了相空间中真正的scrambling（算符传播）与准scrambling（体积保持性畸变）。
• 对于平均光子数为$n_{\text{th}}$的热态上的集合$\mathbb{D}_n$，CV 1-框架势能$\mathcal{J}_{\mathbb{D}_n}^{(1)}(\tilde{\rho}_{n_{\text{th}}})$在$n \gtrsim n_{\text{th}}$时渐近趋于1，证实$\lim_{n\to\infty}\mathbb{D}_n$是CV 1-设计。
• 当$n \ll n_{\text{th}}$时，框架势能按$(n_{\text{th}}/n)^N$缩放，表明对哈尓随机性的逼近效果差；而当$n \gg n_{\text{th}}$时，其代数趋于1。
• 由随机高斯电路导出的流体动力学模型预测了蝴蝶速度$v_B$、增长指数$\lambda$与扩散常数$D$之间的普遍关系$v_B \sim \sqrt{\lambda D}$。
• 框架势能为CV集合逼近哈尓测度的程度提供了定量度量，当其在下界$\mathcal{H}^{(k)}(\rho)^{-1}$处饱和时，表明为CV $k$-设计。
• 本研究建立了CV scrambling 的完整理论框架，包括OTOC诊断、框架势能与流体动力学建模，对量子光学与电路量子电动力学等实验平台具有直接应用价值。