[论文解读] Search of clustered marked states with lackadaisical quantum walks

Amit Saha, Ritajit Majumdar+3 more|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2018

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 30被引用 6

一句话总结

本文提出了一种经过优化的自旋环权重的漫游量子行走方法，用于在 $\sqrt{N} \times \sqrt{N}$ 网格中搜索聚集的标记状态，其中 $k$ 为奇数，自旋环权重为 $\frac{4}{N(k + \lfloor\sqrt{k}/2\rfloor)}$。该方法将成功概率提高了约 0.2，并减少了所需步数，相较于标准量子行走，实现了更高效的全簇发现，仅通过一次量子行走运行后结合经典搜索，即可在 $\mathcal{O}(\sqrt{k})$ 时间内完成全簇发现。

ABSTRACT

Nature of quantum walk in presence of multiple marked state has been studied by Nahimovs and Rivosh \cite{10.1007/978-3-662-49192-8_31}. They have shown that if the marked states are arranged in a $\sqrt{k} imes \sqrt{k}$ cluster in a $\sqrt{N} imes \sqrt{N}$ grid, then to find a single marked state among the multiple ones, quantum walk requires $Ω(\sqrt{N} - \sqrt{k})$ time. In this paper, we show that using lackadaisical quantum walk with the weight of the self-loop as $\frac{4}{N(k + \lfloor{\frac{\sqrt{k}}{2}} floor)}$, where $k$ is odd, the probability of finding a marked state increases by $\sim 0.2$. Furthermore, we show that instead of applying the quantum walk $\mathcal{O}(k)$ times to find all the marked states, classical search in the vicinity of the marked state found after the first implementation of the quantum walk can find all the marked states in $\mathcal{O}(\sqrt{k})$ time on average.

研究动机与目标

• 提升在 $\sqrt{k} \times \sqrt{k}$ 块内聚集的多个标记状态的二维网格中，量子行走搜索的成功概率。
• 解决标准量子行走在此类聚集搜索场景中效率低下的问题，其性能因干扰和低检测概率而下降。
• 设计一种具有定制化自旋环权重的漫游量子行走，以增强对聚集标记状态的局域化和检测概率。
• 通过结合单次量子行走运行与标记状态附近的经典搜索，降低找到全部 $k$ 个标记状态的总体时间复杂度。
• 证明在检测到的标记状态附近进行经典搜索，可平均在 $\mathcal{O}(\sqrt{k})$ 时间内找到全部 $k$ 个状态，优于重复运行量子行走。

提出的方法

• 研究在 $\sqrt{N} \times \sqrt{N}$ 网格上采用离散时间量子行走，使用翻转-对称移位算符和 Grover 的扩散币算符。
• 引入一种漫游量子行走，其中每个网格节点具有可调权重的自旋环，以提高停留在某位置的概率。
• 自旋环权重通过解析推导得出，为 $\frac{4}{N(k + \lfloor\sqrt{k}/2\rfloor)}$（$k$ 为奇数），以优化聚集配置下的检测概率。
• 量子行走演化至振幅集中于标记簇时停止，随后进行测量。
• 在检测到一个标记状态后，对检测位置的局部邻域应用经典搜索，以 $\mathcal{O}(\sqrt{k})$ 时间定位全部 $k$ 个标记状态。
• 在不同网格尺寸（$\sqrt{N} = 8$ 至 $30$）和固定 $k=9$ 的条件下进行仿真，比较有无自旋环时的成功概率与步数。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有定制化自旋环权重的漫游量子行走是否能提升在二维网格中聚集配置下检测标记状态的成功概率？
• RQ2 与标准量子行走相比，优化后的自旋环权重 $\frac{4}{N(k + \lfloor\sqrt{k}/2\rfloor)}$ 是否能减少达到高检测概率所需的步数？
• RQ3 在单个检测到的标记状态附近进行经典搜索，是否能平均在 $\mathcal{O}(\sqrt{k})$ 时间内定位全部 $k$ 个聚集的标记状态？
• RQ4 与重复运行量子行走 $\mathcal{O}(k)$ 次相比，采用单次量子行走运行后接经典局部搜索的联合方法是否更高效？
• RQ5 使用所提出的自旋环权重时，成功概率的定量提升是多少？该优势是否在不同网格尺寸下均成立？

主要发现

• 所提出的自旋环权重 $\frac{4}{N(k + \lfloor\sqrt{k}/2\rfloor)}$ 相较于标准量子行走，将检测标记状态的成功概率提高了约 0.2。
• 使用优化权重的漫游量子行走时，达到高检测概率所需的步数减少，尤其在 $N$ 较大时更为显著。
• 在检测到的标记状态附近进行经典搜索，可平均在 $\mathcal{O}(\sqrt{k})$ 时间内定位全部 $k$ 个标记状态，显著优于重复运行量子行走。
• 该方法仅通过一次量子行走运行结合高效的经典后处理，即可实现对全部 $k$ 个标记状态的完整发现，将总时间复杂度从 $\mathcal{O}(k)$ 降低至 $\mathcal{O}(\sqrt{k})$。
• 仿真结果表明，当使用优化后的自旋环权重时，所有测试的 $\sqrt{N}$ 值（从 8 到 30）下，成功概率均趋近于 1。
• 理论上的漫游量子行走优势在实验中得到验证，显示出在不同网格尺寸和固定 $k=9$ 条件下的一致改进。