[论文解读] Second Chern numbers of vector bundles and higher adeles

Denis Vasilievich Osipov|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用 3

一句话总结

本论文提出了一种无需K-理论的构造方法，利用adele转移矩阵和GL_n(𝔸_X)关于ℤ的中心扩张，为定义在完美域上光滑射影曲面上的向量丛构造第二陈数。该方法依赖于局部线性紧致向量空间的典范ℤ-挠子，将转移矩阵上延至中心扩张，其乘积作为整数给出第二陈数，提供了一种类似于解析Riemann-Roch证明的新途径。

ABSTRACT

We give a construction of the second Chern number of a vector bundle over a smooth projective surface by means of adelic transition matrices for the vector bundle. The construction does not use an algebraic $K$-theory and depends on the canonical $\mathbb{Z}$-torsor of a locally linearly compact $k$-vector space. Analogs of certain auxiliary results for the case of an arithmetic surface are also discussed.

研究动机与目标

• 提供一种不依赖代数K-理论的、关于光滑射影曲面上向量丛第二陈数的替代性、初等构造方法。
• 建立第二陈数与GL_n(𝔸_X)关于ℤ的中心扩张中提升元的交换子之间的联系。
• 通过引入阿代尔分量的实值挠子，将该构造推广至算术曲面。
• 通过使用ℝ₊*为系数的中心扩张，将方法推广至算术情形，以应用于算术Riemann-Roch定理与Noether公式。

提出的方法

• 为定义在完美域k上的光滑射影曲面X构造Parshin-Belinson的adele环𝔸_X。
• 利用由X上除子的滤子诱导的局部线性紧致k-向量空间的维数理论，构造其典范ℤ-挠子。
• 利用𝔸_X^n上的挠子结构，定义GL_n(𝔸_X)关于ℤ的中心扩张𝔾𝕃̃_n(𝔸_X)。
• 构造第二个关于ℤ的中心扩张𝔾𝕃̂_n(𝔸_X)，与前者相容，并证明其在GL_n(𝔸_X)的特定子群上的典范分裂。
• 利用在概形态点处的平凡化，得到取值于GL_n(𝔸_X)的转移矩阵，满足上链条件。
• 利用典范分裂将这些矩阵上延至𝔾𝕃̂_n(𝔸_X)，其乘积属于ℤ，从而给出作为整数的第二陈数。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否仅通过adele转移矩阵与挠子结构，而不依赖代数K-理论，来构造光滑射影曲面上向量丛的第二陈数？
• RQ2 如何利用局部线性紧致向量空间的维数理论，典范地定义GL_n(𝔸_X)关于ℤ的中心扩张？
• RQ3 在GL_n(𝔸_X)的子群上，中心扩张的典范分裂在定义第二陈数中起什么作用？
• RQ4 如何通过实值挠子与ℝ₊*为系数的中心扩张，将该构造推广至包含阿代尔纤维的算术曲面？
• RQ5 该方法能否用于以类似解析Riemann-Roch定理的风格证明Noether公式？

主要发现

• 在完美域上光滑射影曲面上的向量丛的第二陈数，通过将adele转移矩阵上延至GL_n(𝔸_X)关于ℤ的中心扩张，被构造为一个整数。
• 该构造依赖于由𝔸_X关于X上除子的滤子诱导的局部线性紧致k-向量空间的典范ℤ-挠子。
• 中心扩张𝔾𝕃̂_n(𝔸_X)在GL_n(𝔸_X)的某些子群上的典范分裂，使得转移矩阵可被上延，其乘积即为第二陈数。
• 对于算术曲面，关于ℝ₊*的中心扩张𝔾𝕃̂_n(𝔸_X^ar)在子群如GL_n(𝔸_X,12) × GL_n(𝔸_X,∞(0))、GL_n(𝔸_X,02)和GL_n(𝔸_X,01)上典范分裂，推广了代数情形。
• 中心扩张𝔾𝕃̂_n(𝔸_X^ar)是GL_n(𝔸_X)与GL_n(𝔸_X,∞)上扩张的Baer和，与算术设定相容。
• 该方法为证明Noether公式以及在adele框架下将解析Riemann-Roch定理推广至更高陈类奠定了基础。