[论文解读] Structured vector bundles define differential K-theory

James Simons, Dennis Sullivan|ArXiv.org|Oct 28, 2008

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 10被引用 26

一句话总结

本文引入了结构向量丛——即配备有连接等价类的复向量丛，其中Chern-Simons差形式为恰当形式——作为微分K-理论的几何模型。通过将此类丛的同构类半环上的Grothendieck构造应用于该结构，作者构造了一个环 $\hat{K}$，该环分类了模等价关系下的带连接丛，其唯一性由基流形的奇数贝蒂数之和所确定的复环面模下的普通K-理论类与Chern-Weil形式决定。

ABSTRACT

A equivalence relation, preserving the Chern-Weil form, is defined between connections on a complex vector bundle. Bundles equipped with such an equivalence class are called Structured Bundles, and their isomorphism classes form an abelian semi-ring. By applying the Grothedieck construction one obtains the ring K, elements of which, modulo a complex torus of dimension the sum of the odd Betti numbers of the base, are uniquely determined by the corresponding element of ordinary K and the Chern-Weil form. This construction provides a simple model of differential K-theory, c.f.Hopkins-Singer (2005), as well as a useful codification of vector bundles with connection.

研究动机与目标

• 构建一个简洁且几何化的微分K-理论模型，统一向量丛与连接以及闭微分形式。
• 以数学上严谨且计算上实用的方式形式化复向量丛与连接的关系。
• 证明微分K-理论环 $\hat{K}$ 的元素由其底层K-理论类与Chern-Weil形式唯一确定，模一个复环面。
• 建立一个包含正合序列的图表，镜像Bockstein与de Rham序列，将微分K-理论与普通K-理论及de Rham上同调联系起来。
• 将该模型扩展至具有单位联络的Hermitian向量丛，证明存在具有调和Chern-Weil形式的联络。

提出的方法

• 定义复向量丛上连接的等价关系：若两连接的Chern-Simons差形式为恰当形式，则称其等价。
• 引入结构丛为对 $(V, \{\nabla\})$，其中 $V$ 为复向量丛，$\{\nabla\}$ 为上述关系下的连接等价类。
• 构造结构丛的同构类的阿贝尔半环，记为 $\text{Struct}$，并应用Grothendieck构造得到环 $\hat{K}$。
• 构造一个包含de Rham上同调、Chern-Weil映射、模 $\mathbb{Z}$ 约化及Bockstein映射的正合对角线的交换图表。
• 利用附录A中的同伦理论特征刻画同伦纤维，证明Chern-Weil映射 $ch$ 的核同构于 $K(C/\mathbb{Z})$。
• 证明：对于任意闭Riemann流形上的向量丛，经稳定化后，存在一个单位联络，其Chern-Weil形式为该丛Chern特征的调和代表。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用带连接的结构向量丛构造微分K-理论的几何模型？
• RQ2 微分K-理论环 $\hat{K}$ 是否由其底层K-理论类与Chern-Weil形式唯一确定，模一个复环面？
• RQ3 每个在 $\mathbb{C}$ 上具有零Chern特征的复向量丛，经稳定化后是否都存在一个Chern-Weil形式为零的连接？
• RQ4 该模型能否扩展至具有单位联络的Hermitian向量丛？是否保证存在调和代表联络？
• RQ5 该模型在多大程度上满足Mayer-Vietoris性质？这与场论中的局部性有何关联？

主要发现

• 通过结构丛的Grothendieck完成构造的环 $\hat{K}$，提供了一个微分K-理论的几何模型，其同构于普通K-理论与闭微分形式的纤维积。
• 元素 $\hat{K}$ 由其底层K-理论类与Chern-Weil形式唯一确定，模一个复环面，其维数等于基流形奇数贝蒂数之和。
• 每个 $\wedge_{BGL}$ 中的元素均可表示为某个稳定化丛上连接的Chern特征形式，意味着任何在 $\mathbb{C}$ 上具有零特征类的丛，经稳定化后，均存在一个Chern-Weil形式为零的连接。
• 对于任意闭Riemann流形上的复向量丛，经稳定化后，存在一个单位联络，其Chern-Weil形式为该丛Chern特征的调和代表。
• 当奇数贝蒂数为零时，结构丛在添加平凡holonomy丛的意义下唯一，表明在无奇数上同调时存在某种刚性。
• 该模型满足Mayer-Vietoris性质，如定理3.9所示，支持其在场论与量子引力中局部构造的适用性。