[论文解读] Second-order Gauge Invariant Cosmological Perturbation Theory: -- Einstein equations in terms of gauge invariant variables --

K. Nakamura|ArXiv.org|May 19, 2006

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 21被引用 10

一句话总结

本文在均匀各向同性宇宙中建立了二阶微分不变的宇宙学微扰理论，通过使用微分不变变量而不进行微分固定，将所有爱因斯坦方程公式化。它表明，二阶矢量和张量模式是通过一阶标量微扰的模式-模式耦合产生的，为研究线性理论之外的非高斯性和非线性效应提供了自洽的框架。

ABSTRACT

Along the general framework of the gauge invariant perturbation theory developed in the papers [K. Nakamura, Prog. Theor. Phys. {\bf 110} (2003), 723; {\it ibid}, {\bf 113} (2005), 481.], we formulate the second order gauge invariant cosmological perturbation theory in a four dimensional homogeneous isotropic universe. We consider the perturbations both in the universe dominated by the single perfect fluid and in that dominated by the single scalar field. We derive the all components of the Einstein equations in the case where the first order vector and tensor modes are negligible. All equations are derived in terms of gauge invariant variables without any gauge fixing. These equations imply that the second order vector and tensor modes may be generated due to the mode-mode coupling of the linear order scalar perturbations. We also briefly discuss the main progress of this work by the comparison with some literatures.

研究动机与目标

• 开发适用于宇宙时空的自洽二阶微分不变微扰框架。
• 通过将所有方程表达为微分不变变量，消除二阶相对论性微扰中的微分歧义。
• 研究一阶标量微扰的非线性耦合如何产生二阶矢量和张量模式。
• 提供一个完整且不进行微分固定的公式化方法，适用于流体主导和标量场主导的宇宙。
• 在先前工作的基础上，提供在弗里德曼-罗伯逊-沃尔克背景中更清晰、更系统的二阶微扰方程推导。

提出的方法

• 以微分不变变量表示爱因斯坦张量和里奇张量的所有分量，避免任何微分固定条件。
• 将先前工作（KN2003, KN2005）中开发的一般微分不变微扰形式化应用于宇宙时空。
• 使用共形牛顿微分，通过微分不变变量如 Ψ, Φ, νi, 和 χij 表达度规微扰。
• 在四维均匀各向同性宇宙中推导出包含标量、矢量和张量模式的完整二阶爱因斯坦方程组。
• 通过微扰的微分不变分解，显式计算黎曼张量和里奇张量至二阶。
• 通过证明所得方程在二阶下明显具有微分不变性且自洽闭合，验证了形式化的自洽性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在均匀各向同性宇宙中，如何在不进行微分固定的情况下一致地表述二阶宇宙学微扰？
• RQ2 在宇宙学微扰理论中，二阶矢量和张量模式的起源是什么？
• RQ3 一阶标量微扰的非线性耦合如何在爱因斯坦方程中生成高阶模式？
• RQ4 微分不变变量在多大程度上能提供对二阶微扰的唯一且无歧义的描述？
• RQ5 与先前方法相比，该形式化在清晰性、一致性和适用性方面有何差异？

主要发现

• 通过爱因斯坦方程的显式结构表明，二阶矢量和张量模式是通过一阶标量微扰的模式-模式耦合产生的。
• 所有爱因斯坦张量和里奇张量的分量均以微分不变变量推导得出，确保结果与坐标或微分选择无关。
• 该形式化在二阶下保持一致，为研究宇宙学中的非线性相对论效应提供了自包含的框架。
• 推导出的方程表明，即使一阶矢量和张量模式可忽略，二阶矢量和张量微扰仍会生成。
• 该框架使能够系统研究暴胀和晚期宇宙学中的非高斯性和反作用效应。
• 该方法通过全程使用微分不变形式化，避免了先前方法的复杂性，从而实现了更清晰、更稳健的推导。