[论文解读] Second order quasilinear PDEs and conformal structures in projective space

P. A. BUROVSKIY, E. V. Ferapontov+1 more|ArXiv.org|Feb 19, 2008

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 33被引用 7

一句话总结

本文通过证明其系数在射影空间上定义了共形结构，建立了三维变量中可积二阶拟线性偏微分方程的几何分类，其中可积性等价于共形平坦性以及存在无穷多组三重共轭零坐标系。此类可积方程的模空间被证明是20维的，且所有解均具有守恒性，并存在无色散Lax对。

ABSTRACT

We investigate second order quasilinear equations of the form f_{ij} u_{x_ix_j}=0 where u is a function of n independent variables x_1, ..., x_n, and the coefficients f_{ij} are functions of the first order derivatives p^1=u_{x_1}, >..., p^n=u_{x_n} only. We demonstrate that the natural equivalence group of the problem is isomorphic to SL(n+1, R), which acts by projective transformations on the space P^n with coordinates p^1, ..., p^n. The coefficient matrix f_{ij} defines on P^n a conformal structure f_{ij} dp^idp^j. In this paper we concentrate on the case n=3, although some results hold in any dimension. The necessary and sufficient conditions for the integrability of such equations by the method of hydrodynamic reductions are derived. These conditions constitute a complicated over-determined system of PDEs for the coefficients f_{ij}, which is in involution. We prove that the moduli space of integrable equations is 20-dimensional. Based on these results, we show that any equation satisfying the integrability conditions is necessarily conservative, and possesses a dispersionless Lax pair. Reformulated in differential-geometric terms, the integrability conditions imply that the conformal structure f_{ij} dp^idp^j is conformally flat, and possesses an infinity of 3-conjugate null coordinate systems. Integrable equations provide an abundance of explicit examples of such conformal structures parametrized by elementary functions, elliptic functions and modular forms.

研究动机与目标

• 提供三维自变量中可积二阶拟线性PDE的统一、内在表征。
• 将此类PDE的自然等价群识别为SL(4,R)，其通过射影变换作用于一阶导数空间。
• 利用流体动力学约化方法，推导出可积性的必要与充分条件。
• 在简化假设下对可积方程进行分类，得到用初等函数、椭圆函数和模形式表示的新例子。
• 通过共形平坦性及存在三重共轭零坐标系，建立可积性的微分几何表征。

提出的方法

• 应用流体动力学约化方法，推导出系数 $f_{ij}$ 的超定PDE系统，该系统是可积性的必要与充分条件。
• 将自然等价群识别为 $SL(4,\mathbb{R})$，其作用于具有坐标 $p^1, p^2, p^3$ 的射影空间 $\mathbb{P}^3$，对应于一阶导数。
• 将可积性条件重新表述为：共形结构 $f_{ij}(\mathbf{p})dp^i dp^j$ 必须是共形平坦的，并且必须存在无穷多组三重共轭零坐标系。
• 使用符号计算将超过一百万项的系统简化为少于4500项的多项式系统，随后求解得到的30个独立方程，以确定 $f_{ij}$ 的二阶导数。
• 采用归一化 $f_{22} = 1$ 简化系统，并推导出闭式表达式 $d^2f_{ij} = \frac{1}{F}R(f_{kl}, df_{kl})$，其中 $R$ 是 $f_{kl}$ 和 $df_{kl}$ 的二次型。
• 验证系统处于对合状态，从而确认存在20维的可积方程模空间。

实验结果

研究问题

• RQ1 仅依赖于一阶导数的系数的三维变量中二阶拟线性PDE的自然等价群是什么？
• RQ2 此类PDE通过流体动力学约化实现可积性的必要与充分条件是什么？
• RQ3 此类PDE的可积性在微分几何上如何表征？
• RQ4 此类可积方程的模空间维数是多少？
• RQ5 哪些特殊函数（初等函数、椭圆函数、模形式）可以参数化此类方程的系数？

主要发现

• 三维变量中可积二阶拟线性PDE的模空间恰好是20维的，其来源于5个系数 $f_{ij}$ 及其3个一阶导数，且无额外约束。
• 此类所有可积方程均为守恒型，并存在无色散Lax对，这是可积性条件的直接结果。
• 在 $\mathbb{P}^3$ 上的共形结构 $f_{ij}(\mathbf{p})dp^i dp^j$ 必然为共形平坦结构，并且存在由一个变量的三个任意函数参数化的无穷多组三重共轭零坐标系。
• 可积性条件等价于关于 $f_{ij}$ 二阶导数的30个线性无关方程的系统，该系统处于对合状态，并具有闭式解。
• 通过Weierstrass $\wp$-函数和模形式显式构造了可积方程的例子，包括一个其系数函数满足与Level 2模形式相关的三阶ODE的方程。
• 一项关键技术成就是通过色散关系和归一化系统性地消去项，将一个超过百万项的系统简化为少于4500项的可处理多项式系统。