[论文解读] Second Quantized Mathieu Moonshine

Daniel Persson, Roberto Volpato|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2013

Advanced Algebra and Geometry参考文献 66被引用 9

一句话总结

本文引入了广义Mathieu月光中扭曲共轭特征标的的第二量化版本，表明这些提升产生具有无限乘积表示的Siegel模形式。这些形式满足S对偶性和墙穿隧性质，统一了两种$M_{24}$月光理论，并将其中一些识别为来自月光形式的Borcherds提升。

ABSTRACT

We study the second quantized version of the twisted twining genera of generalized Mathieu moonshine, and prove that they give rise to Siegel modular forms with infinite product representations. Most of these forms are expected to have an interpretation as twisted partition functions counting 1/4 BPS dyons in type II superstring theory on K3 imes T^2 or in heterotic CHL-models. We show that all these Siegel modular forms, independently of their possible physical interpretation, satisfy an "S-duality" transformation and a "wall-crossing formula". The latter reproduces all the eta-products of an older version of generalized Mathieu moonshine proposed by Mason in the '90s. Surprisingly, some of the Siegel modular forms we find coincide with the multiplicative (Borcherds) lifts of Jacobi forms in umbral moonshine.

研究动机与目标

• 构建广义Mathieu月光中扭曲共轭特征标的第二量化版本。
• 证明这些第二量化形式是具有无限乘积表示的Siegel模形式。
• 通过墙穿隧建立广义Mathieu月光与Mason早期$M_{24}$-月光之间的物理与数学联系。
• 表明所得的Siegel模形式满足S对偶性和自动形式不变性。
• 识别第二量化提升与来自月光形式的Borcherds提升相重合的情形。

提出的方法

• 对弱Jacobi形式$\phi_{g,h}$应用扭曲等变Hecke算子，定义第二量化扭曲共轭特征标$\Psi_{g,h}$。
• 使用乘法（Borcherds）提升，从Jacobi形式$\phi_{g,h}$构造$\Psi_{g,h}$为Siegel模形式。
• 利用群上同调和中心扩张，一致地定义扭曲等变Hecke算子。
• 实施重标记程序，将$g$的中心化子中的共轭类与覆盖群中的共轭类关联，以实现S对偶性不变性。
• 推导出墙穿隧公式，重现Mason所有广义$M_{24}$-月光eta-乘积。
• 通过S对偶变换和$\mathrm{Sp}(2,\mathbb{Z})$下的模不变性验证自动形式性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 广义Mathieu月光的扭曲共轭特征标如何被第二量化，以产生自动形式？
• RQ2 所得的第二量化形式是否满足S对偶性和墙穿隧行为？
• RQ3 墙穿隧公式能否重现Mason广义$M_{24}$-月光的无限乘积结构？
• RQ4 第二量化形式与来自月光形式的Borcherds提升之间是否存在联系？
• RQ5 这些Siegel模形式在弦紧化中的物理意义是什么？

主要发现

• 第二量化扭曲共轭特征标$\Psi_{g,h}$是具有无限乘积表示的Siegel模形式。
• 这些Siegel模形式满足S对偶变换，表明其在$\mathrm{Sp}(2,\mathbb{Z})$-对偶性下不变。
• 墙穿隧公式重现了Mason所有广义$M_{24}$-月光eta-乘积，建立了两种月光理论之间的直接联系。
• 对于某些$g,h$共轭类，$\Psi_{g,h}$与来自月光形式的Jacobi形式的Borcherds提升重合。
• 该构造在所有$M_{24}$共轭类中保持一致，并尊重月光模的模形式与群论结构。
• 第二量化形式在物理上可解释为在$K3 \times T^2$和CHL模型上型II紧化中计数1/4 BPS dyons的扭曲划分函数。