[论文解读] Seiberg-Witten geometry, modular rational elliptic surfaces and BPS quivers

Horia Magureanu|arXiv (Cornell University)|Mar 7, 2022

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 139被引用 7

一句话总结

本文通过利用 PSL(2,Z) 的子群对 4d N=2 QFT 的 Seiberg-Witten 几何进行分类，建立了其模形式 Coulomb 系统与模有理椭圆曲面之间的系统性对应关系。文中推导了同余与非同余子群的模形式函数的闭式表达式，并提出一种新颖的构造方法，可直接从单值群基本域构造 BPS quiver，将 quiver 变换解释为这些基本域的变化。主要贡献在于提出一种基于几何-自守方法来确定 BPS quiver 的新途径，该方法可推广至具有不可变形奇点的理论。

ABSTRACT

We study the Coulomb branches of the rank-one 4d $\mathcal{N} = 2$ quantum field theories, including the KK theories obtained from the circle compactification of the 5d $\mathcal{N}= 1$ $E_n$ Seiberg theories. The focus is set on the relation between their Seiberg-Witten geometries and rational elliptic surfaces, with more attention being given to the modular surfaces, which we completely classify using the classification of subgroups of the modular group ${ m PSL}(2,\mathbb{Z})$. We derive closed-form expressions for the modular functions for all congruence and some of the non-congruence subgroups associated with these geometries. Moreover, we show how the BPS quivers of these theories can be determined directly from the fundamental domains of the monodromy groups and study how changes of these domains can be interpreted as quiver mutations. This approach can also be generalized to theories whose Coulomb branches contain `undeformable' singularities, leading to known quivers of such theories.

研究动机与目标

• 通过 PSL(2,Z) 的子群完全分类 4d N=2 模形式 Coulomb 系统的秩一理论。
• 推导 PSL(2,Z) 的同余与非同余子群的模形式函数的闭式表达式，包括超出 Γ0(N) 和 Γ1(N) 类型的非标准类型。
• 建立一种基于 Seiberg-Witten 几何中单值群基本域的 BPS quiver 构造的几何规范。
• 将 quiver 变换解释为基本域分解的变化，推广至具有不可变形奇点的理论。

提出的方法

• 通过子群的指标、尖点宽度和椭圆点数量对有限指数子群 Γ ⊂ PSL(2,Z) 进行分类，从而对模有理椭圆曲面进行分类。
• 利用子群与一对置换 (σS, σR) 之间的同构关系来编码基本域，其中 σT = σSσR 决定尖点宽度。
• 通过 η-quotients 和 theta 函数推导模形式 f(τ) 的闭式表达式，特别地，利用伽罗瓦理论关联方法推导非同余子群的表达式。
• 通过单值群生成元将有理尖点 τ = q/m ∈ ℚ 映射到 BPS 电荷 (m, −q)，将尖点结构与单粒子 BPS 状态谱联系起来。
• 从 SW 几何中的奇点纤维构造 BPS quiver，其中 quiver 变换对应于基本域分解的变化。
• 通过扩展基于域的规范，将 quiver 构造推广至具有不可变形奇点的理论。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过 PSL(2,Z) 的子群系统性地分类所有秩一 4d N=2 模形式 Coulomb 系统？
• RQ2 PSL(2,Z) 的非同余子群的模形式函数的闭式表达式是什么，特别是那些不属于 Γ0(N) 或 Γ1(N) 类型的？
• RQ3 如何直接从 Seiberg-Witten 几何中单值群的基本域推导出 BPS quiver？
• RQ4 quiver 变换如何对应于模群基本域分解的变化？
• RQ5 quiver 构造能否推广至包含“不可变形”奇点的理论？

主要发现

• 本文对 47 个模有理椭圆曲面进行了完整分类，包括 22 个同余子群和 11 个非同余子群，其指标均不超过 12。
• 推导出所有同余子群的模形式函数的闭式表达式，包括非标准类型如 2a、3C、4A0 和 5A0，方法基于 η-quotients 和 theta 函数。
• 对于非同余子群，通过伽罗瓦理论方法构造模形式，涉及标准模形式的分数幂，适用于其中 2 个非同余子群。
• 建立了一种精确的规范，将有理尖点 τ = q/m 映射到 BPS 电荷 (m, −q)，将尖点结构与 BPS 状态谱联系起来。
• 将 BPS quiver 的构造推广至具有不可变形奇点的理论，得到了这些情形下的已知 quiver 模型。
• 将 quiver 变换解释为基本域分解的变化，为模群作用下的变换动力学提供了几何实现。