[论文解读] Seiberg-Witten invariants of 3-orbifolds and non-Kähler surfaces

Chen Weimin|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2011

Geometric and Algebraic Topology参考文献 21被引用 4

一句话总结

本文建立了一种公式，将具有奇点圆周的3-轨道丛的Seiberg-Witten不变量与去除奇点圆周后的底流形的不变量联系起来，从而通过轨道丛技术计算非凯勒复曲面的不变量。关键结果推广了Biquard和Williams的早期工作，利用轨道丛线丛及其在格点群作用下的轨道，为椭圆非凯勒曲面提供了Seiberg-Witten不变量的拓扑公式。

ABSTRACT

A formula is given which computes the Seiberg-Witten invariant of a 3-orbifold from the invariant of the underlying manifold. As an application, we derive a formula for the Seiberg-Witten invariant of a non-Kähler complex surface, which was originally due to O. Biquard \cite{Biq} and S.R. Williams \cite{W} independently.

研究动机与目标

• 推导出奇异集由嵌入圆周组成的3-轨道丛的Seiberg-Witten不变量公式，并将其与底流形的不变量相关联。
• 将此公式应用于计算非凯勒复曲面（特别是欧拉示性数为零的椭圆曲面）的Seiberg-Witten不变量。
• 推广不变量的计算至曲面不一定是凯勒的情形，利用轨道丛结构与Seifert纤维化。
• 建立4-流形上$Spin^c$-结构与2-轨道丛基底上轨道丛线丛之间的对应关系。
• 以球面分裂和分离2-轨道丛的形式，对非零Seiberg-Witten不变量提供拓扑表征。

提出的方法

• 定义从3-轨道丛$Y$上的$Spin^c$-结构到通过移除奇异集得到的流形$Y_0$上的$Spin^c$-结构的典范满射映射$\phi: S_Y \to S_{Y_0}$。
• 利用Baldridge对3-轨道丛的Seiberg-Witten理论的推广，通过典范映射关联不变量$SW_Y(\xi)$与$SW_{Y_0}(\phi(\xi))$。
• 将非凯勒复曲面建模为3-轨道丛$Y_2$上的主$S^1$-丛的全空间，通过从Seifert纤维化拉回构造。
• 将4-流形$X$上的$Spin^c$-结构表示为轨道$(D)$，其中$D$是轨道丛线丛，作用群为由$E_1$和$E_2$生成的群$\Gamma_X$。
• 当$g \geq 1$时，计算Seiberg-Witten不变量$SW_X((D))$为对满足$|D'| \in [0, 2g-2]$的$D' \in (D)$求和，权重为二项式系数$(-1)^{|D'|} \binom{2g-2}{|D'|}$；当$g = 0$时，对所有满足$|D'| \geq 0$的$D'$求和，权重为$|D'|+1$。
• 推导出$Spin^c$-结构的行列式线丛的第一陈类为$c_1(\det \mathcal{L}) = (2d - 2g + 2)F + \sum_i (2s_i + 1 - m_i)F_i$，其中$F$和$F_i$分别为正则点与奇异点上的纤维。

实验结果

研究问题

• RQ1 当奇异集由嵌入圆周组成时，3-轨道丛的Seiberg-Witten不变量与底光滑3-流形的不变量之间有何关系？
• RQ2 非凯勒复曲面上的$Spin^c$-结构具有何种结构？哪些结构可以支持非零的Seiberg-Witten不变量？
• RQ3 能否利用轨道丛数据与丛论构造计算非凯勒椭圆曲面的Seiberg-Witten不变量？
• RQ4 群$\Gamma_X$对轨道丛线丛的作用如何影响Seiberg-Witten不变量的计算？
• RQ5 对于具有非零Seiberg-Witten不变量的3-轨道丛，其拓扑约束是什么，特别是关于球面2-轨道丛及其分裂性质？

主要发现

• 具有奇异集$\Sigma Y$的3-轨道丛$Y$的Seiberg-Witten不变量等于通过移除$\Sigma Y$得到的底流形$Y_0$的不变量，通过典范映射$\phi: S_Y \to S_{Y_0}$实现，即对所有$\xi \in S_Y$有$SW_Y(\xi) = SW_{Y_0}(\phi(\xi))$。
• 对于通过在$E \times C$上进行对数变换得到的非凯勒复曲面$X$，其Seiberg-Witten不变量$SW_X((D))$由轨道丛线丛的轨道上的求和给出：当$g \geq 1$时为$\sum_{D' \in (D), |D'| \in [0,2g-2]} (-1)^{|D'|} \binom{2g-2}{|D'|}$；当$g = 0$时为$\sum_{D' \in (D), |D'| \geq 0} (|D'| + 1)$。
• 在$X$上$Spin^c$-结构$\mathcal{L}$的行列式线丛的第一陈类为$c_1(\det \mathcal{L}) = (2d - 2g + 2)F + \sum_i (2s_i + 1 - m_i)F_i$，其中$F$为正则纤维，$F_i$为第$i$个奇异点上的纤维。
• 若3-轨道丛$Y$满足$b_1 > 1$且Seiberg-Witten不变量非零，则其必为拟良（pseudo-good），所有球面2-轨道丛必须是分离的，且其高效球面分裂中恰好有一个不可约分量具有非零$b_1$。
• 当$b_2^+ = 1$时，$SW_X((D))$的公式与Taubes区域一致，这恰好发生在$g = 0$且$X$为凯勒的情形，确认了与凯勒情形的一致性。
• 由轨道丛线丛$E_1$和$E_2$生成的群$\Gamma_X$在椭圆纤维同调的格点基变换下保持不变，且在$SL(2,\mathbb{Z})$变换下$E_1', E_2'$是$E_1, E_2$的整系数线性组合。