[论文解读] Selection of measure and a Large Deviation Principle for the general XY model

Artur O. Lopes, Jairo K. Mengue|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2011

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 22被引用 3

一句话总结

本文在热力学形式系统中建立了广义一维XY模型的**大偏差原理**（LDP），证明当逆温度 $ c \to \infty $ 时，由Ruelle算子选取的吉布斯测度 $ \mu_c $ 弱*收敛于H"older势函数 $ f $ 的最大值测度。关键结果表明，偏差函数为 $ R_+^\infty = \sum_{j=0}^\infty R_+(\sigma^j) $，其中 $ R_+ = \beta(f) + V \circ \sigma - V - f $，$ V $ 为校准次作用量，且在最大值测度唯一时成立。

ABSTRACT

We consider $(M,d)$ a connected and compact manifold and we denote by $X$ the Bernoulli space $M^{\mathbb{N}}$. The shift acting on $X$ is denoted by $σ$. We analyze the general XY model, as presented in a recent paper by A. T. Baraviera, L. M. Cioletti, A. O. Lopes, J. Mohr and R. R. Souza. Denote the Gibbs measure by $μ_{c}:=h_{c}ν_{c}$, where $h_{c}$ is the eigenfunction, and, $ν_{c}$ is the eigenmeasure of the Ruelle operator associated to $cf$. We are going to prove that any measure selected by $μ_{c}$, as $c o +\infty$, is a maximizing measure for $f$. We also show, when the maximizing probability measure is unique, that it is true a Large Deviation Principle, with the deviation function $R_{+}^{\infty}=\sum_{j=0}^\infty R_{+} (σ^f)$, where $R_{+}:= β(f) + V\circσ- V - f$, and, $V$ is any calibrated subaction.

研究动机与目标

• 在零温极限下，为广义一维XY模型建立大偏差原理（LDP）。
• 刻画当 $ c \to \infty $ 时吉布斯测度 $ \mu_c $ 的渐近行为，对应于无限逆温度。
• 利用校准次作用量 $ V $ 和函数 $ R_+ = \beta(f) + V \circ \sigma - V - f $，识别LDP中的偏差函数。
• 证明当 $ c \to \infty $ 时，$ \mu_c $ 的任意弱*极限均为H"older势函数 $ f $ 的最大值测度。
• 证明当最大值测度唯一时，LDP以指定的偏差函数成立。

提出的方法

• 使用Ruelle算子 $ L_{cf} $ 及其本征函数 $ h_c $、本征测度 $ \nu_c $，并定义吉布斯测度 $ \mu_c = h_c \nu_c $。
• 定义归一化函数 $ g_c = cf + \log h_c - \log(h_c \circ \sigma) - \log \beta_c $，用于Ruelle算子 $ L_{cf} $。
• 引入偏差函数 $ R_+^\infty = \sum_{j=0}^\infty R_+(\sigma^j) $，其中 $ R_+ = \beta(f) + V \circ \sigma - V - f $，$ V $ 为校准次作用量。
• 应用双重极限论证：$ \lim_{c,n \to \infty} \frac{1}{c} \log \int_A e^{c R_-^k} \, dm $，以分析大偏差率。
• 引入由 $ \phi \mapsto \frac{1}{n} \sum_{j=0}^{n-1} \phi(\sigma^j(z)) $ 定义的经验测度 $ \nu_n $，并在 $ R_-^\infty(z) > -\infty $ 时证明其收敛于 $ \mu_\infty $。
• 利用校准次作用量与H"older连续性的性质，控制 $ R_- $ 的变差，并推导对数矩生成函数的界。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $ c \to \infty $ 时，广义XY模型的吉布斯测度 $ \mu_c $ 是否收敛于最大值测度？
• RQ2 XY模型零温极限下，大偏差原理的偏差函数的显式形式为何？
• RQ3 校准次作用量 $ V $ 如何影响偏差函数 $ R_+^\infty $ 的结构？
• RQ4 在何种条件下，LDP以给定的偏差函数成立？
• RQ5 能否通过迭代Ruelle算子及移位映射的逆像结构来刻画 $ \mu_c $ 的渐近行为？

主要发现

• 当 $ c \to \infty $ 时，$ \mu_c $ 的任意子列的弱*极限均为势函数 $ f $ 的最大值测度。
• 当最大值测度 $ \mu_\infty $ 唯一时，大偏差原理成立，偏差函数为 $ R_+^\infty = \sum_{j=0}^\infty R_+(\sigma^j) $，其中 $ R_+ = \beta(f) + V \circ \sigma - V - f $。
• LDP通过双重极限论证建立：$ \lim_{c,n \to \infty} \frac{1}{c} \log \int_A e^{c R_-^k} \, dm $，并导出下界 $ \sup_{z \in A} R_-^\infty(z) \geq \limsup_{k \to \infty} \sup_{z: \sigma^k(z) = y_0} R_-^k(z) $。
• 最大值测度 $ \mu_\infty $ 的支集包含于满足 $ R_-(y_n) = 0 $ 的序列 $ \{y_n\} $ 的极限点集合中，且此类序列确实收敛于 $ \text{supp}(\mu_\infty) $ 中的点。
• 若 $ R_-^\infty(z) > -\infty $，则与 $ z $ 关联的经验测度 $ \nu_n $ 弱*收敛于 $ \mu_\infty $。
• 结果 $ \liminf_{c,n \to \infty} \frac{1}{c} \log (L_{g_c}^n \chi_A)(x) \geq \sup_{z \in A} R_-^\infty(z) = -\inf_{z \in A} R_+^\infty(z) $ 确认了以所提议偏差函数成立的LDP。