[论文解读] Self-adjoint Extensions of Restrictions

Andrea Posilicano|ArXiv.org|Mar 27, 2007

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 13被引用 6

一句话总结

本文提出了一种对对称算子 S 的所有自伴扩张的新型参数化方法，其中 S 是通过将自伴算子 A 限制在 D(A) 的一个稠密闭子空间 N ⊂ D(A) 上得到的。该方法利用由投影 Π 和 Π 的值域中的算子 Θ 参数化的丛，提供了无需了解伴随算子 S* 或亏空空间的预解式公式。其关键贡献是建立了一个统一的框架，兼容冯·诺依曼理论与边界三元组理论，适用于带有边界条件的微分算子。

ABSTRACT

We provide a simple recipe for obtaining all self-adjoint extensions, together with their resolvent, of the symmetric operator $S$ obtained by restricting the self-adjoint operator $A:\D(A)\subseteq\H o\H$ to the dense, closed with respect to the graph norm, subspace $\N\subset \D(A)$. Neither the knowledge of $S^*$ nor of the deficiency spaces of $S$ is required. Typically $A$ is a differential operator and $\N$ is the kernel of some trace (restriction) operator along a null subset. We parametrise the extensions by the bundle $π:\E(\fh) o¶(\fh)$, where $¶(\fh)$ denotes the set of orthogonal projections in the Hilbert space $\fh\simeq \D(A)/\N$ and $π^{-1}(Π)$ is the set of self-adjoint operators in the range of $Π$. The set of self-adjoint operators in $\fh$, i.e. $π^{-1}(1)$, parametrises the relatively prime extensions. Any $(Π,Θ)\in \E(\fh)$ determines a boundary condition in the domain of the corresponding extension $A_{Π,Θ}$ and explicitly appears in the formula for the resolvent $(-A_{Π,Θ}+z)^{-1}$. The connection with both von Neumann's and Boundary Triples theories of self-adjoint extensions is explained. Some examples related to quantum graphs, to Schrödinger operators with point interactions and to elliptic boundary value problems are given.

研究动机与目标

• 提供对通过对自伴算子 A 限制到稠密闭子空间 N ⊂ D(A) 所得的对称算子 S 的所有自伴扩张的完整且显式的分类。
• 在无需事先掌握伴随算子 S* 或 S 的亏空空间的前提下，推导这些扩张的预解式公式。
• 通过丛 p: E(h) → P(h) 建立自伴扩张的统一参数化，其中 P(h) 是希尔伯特空间 h ≃ D(A)/N 中的正交投影集合。
• 将所提出的参数化与冯·诺依曼的自伴扩张理论以及边界三元组理论联系起来。
• 展示该方法在具体问题中的适用性，包括量子图、点相互作用以及椭圆边界值问题。

提出的方法

• 该方法构造了由一对 (Π, Θ) 参数化的自伴扩张 AΠ,Θ，其中 Π 是 h ≃ D(A)/N 中的正交投影，Θ 是 Π 的值域上的自伴算子。
• 推导了 (−AΠ,Θ + z)−1 的克雷因型预解式公式，其中涉及通过限制到 N 的迹算子和解算子定义的算子 G(z) 和 Γ(z)。
• 每个扩张的定义域通过形式为 τ₀ψ|X = Lρψ 的边界条件来刻画，其中 X ⊆ H⁻¹/²(∂Ω)，L 是从 X 到其在 L²(∂Ω) 配对下的对偶空间的自伴算子。
• 通过在单位映射 U: K₊ → K₋ 与对 (Π, Θ) 之间建立双射，证明了该参数化与冯·诺依曼的酉参数化等价，从而证明了构造的完备性。
• 通过证明 h ⊕ h 中的每个自伴关系都可表示为 G(Θ) ⊕ h₀⊥ 的形式，其中 G(Θ) 是子空间 h₀ 上自伴算子 Θ 的图像，建立了与边界三元组理论的联系。
• 该方法被应用于有界区域上的拉普拉斯算子，恢复了罗宾型边界条件，并确定了何时无界对称算子成为自伴算子的条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在不计算伴随算子 S* 或 S 的亏空空间的前提下，对由 S = A|N 定义的对称算子的所有自伴扩张进行参数化？
• RQ2 每个自伴扩张 AΠ,Θ 的预解式的显式形式是什么？其表达式应基于限制数据和参数 (Π, Θ)。
• RQ3 所提出的参数化与冯·诺依曼对自伴扩张的酉参数化之间有何关系？
• RQ4 该构造如何与边界三元组理论相一致，特别是在椭圆边界值问题的背景下？
• RQ5 在通过迹条件定义的对称算子在何种条件下成为自伴算子？此类扩张如何显式构造？

主要发现

• 所有 S 的自伴扩张都由丛 p: E(h) → P(h) 参数化，其中 E(h) 由对 (Π, Θ) 构成，Π 是 h 中的投影，Θ 是 Π 的值域上的自伴算子。
• 每个扩张 AΠ,Θ 的预解式由克雷因型公式给出：(−AΠ,Θ + z)−1 = (−A + z)−1 + G(z)Π(Θ + ΠΓ(z)Π)−1ΠG(ẑ)∗，其中 G 和 Γ 是与迹相关的算子。
• AΠ,Θ 的定义域通过边界条件 τ₀ψ|X = Lρψ 来刻画，其中 X 是 H⁻¹/²(∂Ω) 的闭子空间，L 是从 X 到其对偶空间的自伴算子。
• 通过 (Π, Θ) 的参数化与冯·诺依曼的酉参数化等价，证明了该构造能生成所有可能的自伴扩张。
• 对于有界区域上的拉普拉斯算子，当 Π = 1 且 Θ = ΘB（其中 ΘB = −P + BΛ）时，该方法恢复了罗宾型边界条件，并表明若当 ϕ ∈ H⁻¹/²(∂Ω) 时 (−P + B)ϕ ∈ H¹/²(∂Ω)，且 (−P + B)ϕ ∈ H³/²(∂Ω)，则 ΘB 是自伴的。
• 该构造与文献中的现有结果（包括 [13]、[22] 和 [27]）相容，并为微分算子理论中的自伴扩张提供了一个统一的框架。