[论文解读] Self-adjoint Operators as Functions II: Quantum Probability

Andreas Doering, Barry Dewitt|arXiv (Cornell University)|Oct 21, 2012

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 34被引用 9

一句话总结

本文通过在冯诺依曼代数的投影格上将自伴算子解释为广义分位数函数，以拓扑理论框架为背景，建立了量子概率的新型表述。其中谱预层作为广义样本空间，展示了量子概率可类似经典概率地结构化，通过完备交半格中累积分布函数与分位数函数之间的伽罗瓦连接，克服了Kochen-Specker障碍，利用预层构造的广义集合实现。

ABSTRACT

In "Self-adjoint Operators as Functions I: Lattices, Galois Connections, and the Spectral Order" [arXiv:1208.4724], it was shown that self-adjoint operators affiliated with a von Neumann algebra N can equivalently be described as certain real-valued functions on the projection lattice P(N) of the algebra, which we call q-observable functions. Here, we show that q-observable functions can be interpreted as generalised quantile functions for quantum observables interpreted as random variables. More generally, when L is a complete meet-semilattice, we show that L-valued cumulative distribution functions and the corresponding L-quantile functions form a Galois connection. An ordinary CDF can be written as an L-CDF composed with a state. For classical probability, one picks L=B(Ω), the complete Boolean algebra of measurable subsets modulo null sets of a measurable space Ω. For quantum probability, one uses L=P(N), the projection lattice of a nonabelian von Neumann algebra N. Moreover, using some constructions from the topos approach to quantum theory, we show that there is a joint sample space for all quantum observables, despite no-go results such as the Kochen-Specker theorem. Specifically, the spectral presheaf Σ of a von Neumann algebra N, which is not a mere set, but a presheaf (i.e., a 'varying set'), plays the role of the sample space. The relevant meet-semilattice L in this case is the complete bi-Heyting algebra of clopen subobjects of Σ. We show that using the spectral presheaf Σ and associated structures, quantum probability can be formulated in a way that is structurally very similar to classical probability.

研究动机与目标

• 将经典概率概念（尤其是累积分布函数与分位数函数）通过格论结构推广至量子领域。
• 通过冯诺依曼代数的谱预层引入广义样本空间，解决经典与量子概率之间的结构性不兼容问题。
• 证明即使在非布尔、非交换设定下，量子可观测量也可作为具有明确定义分布函数与分位数函数的随机变量处理。
• 展示玻恩规则与量子概率可自然地从态与闭开子对象的拓扑理论表述中导出。
• 将累积分布函数与分位数函数之间的伽罗瓦连接推广至完备交半格，应用于量子概率。

提出的方法

• 本文引入q-可观测量函数作为冯诺依曼代数N的投影格P(N)上的实值函数，证明其与与N相关的自伴算子之间存在双射关系。
• 在L为完备交半格的前提下，建立L-值累积分布函数与L-值分位数函数之间的伽罗瓦连接，将经典概率推广至非布尔设定。
• 使用冯诺依曼代数的谱预层Σ̲作为广义样本空间，在拓扑理论框架中以变化的集合替代经典样本空间。
• 谱预层的闭开子对象构成一个完备双海廷代数，推广了经典概率中闭开集的布尔代数。
• 量子随机变量通过取值于闭开子对象的映射A̲⁻¹: B(R̄) → Sub_cl Σ̲表示，推广了投影值测度。
• 态被定义为谱预层上的概率测度μρ，量子概率通过μρ在包含可观测量的所有上下文V中取最小值计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否系统地使用类比经典随机变量的分位数函数来描述量子可观测量？
• RQ2 累积分布函数与分位数函数在量子概率中如何推广至非布尔格？
• RQ3 尽管存在Kochen-Specker定理，是否仍可为所有量子可观测量构建联合样本空间？
• RQ4 在多托普斯理论工具下，量子概率在多大程度上可实现与经典概率的结构性同构？
• RQ5 标准量子力学概率（如玻恩规则中的概率）如何从广义分布函数形式中自然导出？

主要发现

• 建立了与冯诺依曼代数相关的自伴算子与该代数投影格上q-可观测量函数之间的一一对应关系。
• 谱预层Σ̲作为所有量子可观测量的广义样本空间，通过使用预层而非集合，绕过了Kochen-Specker定理。
• 对任意完备交半格L，证明了L-值CDF与分位数函数之间的伽罗瓦连接，其中在量子情形下L = Sub_cl Σ̲。
• 量子概率通过概率测度μρ在所有包含可观测量的上下文V中取最小值计算，从而恢复玻恩规则。
• 该表述将经典概率结构推广至量子系统，可观测量的原像映射至闭开子对象，概率通过拓扑内部测度分配。
• 该框架支持对POVM与非交换概率的自然扩展，潜在应用于福克空间与量子场论。