[论文解读] Self-contracted curves in CAT(0)-spaces and their rectifiability

Shin‐ichi Ohta|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2017

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 19被引用 3

一句话总结

该论文在一致的局部结构条件下，建立了有界自收缩曲线在 $\mathrm{CAT}(0)$-空间中的可求长性，推广了欧几里得空间与哈达玛流形中的结果。论文引入了与角度、体积增长和方向性相关的空间局部结构的三个几何条件，确保有界自收缩曲线具有有限长度，并在树、书型空间及 $\mathrm{CAT}(0)$-单纯复形中验证了这些条件，即使在局部维度非一致的空间中也成立。

ABSTRACT

We investigate self-contracted curves, arising as (discrete or continuous time) gradient curves of quasi-convex functions, and their rectifiability (finiteness of the lengths) in Euclidean spaces, Hadamard manifolds and CAT(0)-spaces. In the Hadamard case, we give a quantitative refinement of the original proof of the rectifiability of bounded self-contracted curves (in general Riemannian manifolds) by Daniilidis et al. Our argument leads us to a generalization to CAT(0)-spaces satisfying several uniform estimates on their local structures. Upon these conditions, we show the rectifiability of bounded self-contracted curves in trees, books and CAT(0)-simplicial complexes.

研究动机与目标

• 将有界自收缩曲线在欧几里得空间与哈达玛流形中的可求长性结果推广至一般的 $\mathrm{CAT}(0)$-空间。
• 识别 $\mathrm{CAT}(0)$-空间中保证有界自收缩曲线可求长性的统一局部几何条件。
• 在树、书型空间及 $\mathrm{CAT}(0)$-单纯复形等具体例子中验证这些条件。
• 证明即使在局部维度非一致的空间中，可求长性结果依然成立。
• 通过比较几何方法，对哈达玛流形中可求长性论证进行定量改进。

提出的方法

• 借鉴并改进丹尼利季斯等人在哈达玛流形中的证明策略，利用比较定理推导出角度与距离衰减的定量估计。
• 在 $\mathrm{CAT}(0)$-空间中引入三个统一的局部条件（I、II、III）：角度畸变的统一有界性、切锥中体积增长的控制以及测地线的方向性。
• 将这些条件应用于具有非一致局部维度的 $\mathrm{CAT}(0)$-空间（如 $\mathbb{R}^2$ 与 $[0,\infty)$ 在原点粘合而成的空间），证明其可求长性。
• 通过切锥中的体积估计与投影的双李普希茨控制，验证单纯复形中这些条件的成立。
• 在 $\mathrm{CAT}(0)$-空间中运用比较几何方法，通过角度估计与度量畸变来界定自收缩曲线的长度。
• 通过将 $\mathrm{CAT}(0)$-单纯复形分解为有界单体，并验证定理6.4中的结构条件（1）、（3），将理论应用于 $\mathrm{CAT}(0)$-单纯复形。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\mathrm{CAT}(0)$-空间的局部结构满足何种统一几何条件时，有界自收缩曲线是可求长的？
• RQ2 能否通过比较几取证得，将哈达玛流形中自收缩曲线的可求长性推广至更一般的 $\mathrm{CAT}(0)$-空间？
• RQ3 $\mathrm{CAT}(0)$-单纯复形若具有非一致的局部维度，是否满足自收缩曲线可求长性的条件？
• RQ4 在有限维或光滑设定之外，自收缩性本身是否足以保证 $\mathrm{CAT}(0)$-空间中曲线的可求长性？
• RQ5 可求长性结果能否推广至 $\mathrm{CAT}(1)$-空间，特别是测地完备的 $\mathrm{CAT}(1)$-空间？

主要发现

• 满足三个统一局部条件（I、II、III）的 $\mathrm{CAT}(0)$-空间中的有界自收缩曲线具有有限长度。
• 该可求长性结果在有界度数的树、有限张页的书型空间以及在温和假设下的 $\mathrm{CAT}(0)$-单纯复形中成立。
• 通过将 $\mathrm{CAT}(0)$-单纯复形分解为有界单体，并利用切锥中的体积与角度估计，验证了这些条件。
• 该方法适用于局部维度非一致的空间，例如将 $\mathbb{R}^2$ 与 $[0,\infty)$ 在原点粘合而成的空间。
• 证明通过比较几何与角度估计，对哈达玛流形中可求长性论证提供了定量改进。
• 这些条件在测地完备的 $\mathrm{CAT}(0)$-空间中成立，且可推广至可等距嵌入此类空间的更广范围空间。