[论文解读] Self-Similar $k$-Graph C*-Algebras

Hui Li, Dilian Yang|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2017

Advanced Operator Algebra Research参考文献 24被引用 9

一句话总结

本文引入了离散群在k-图上的自相似作用，并构造了一个普遍C*-代数 $ϴ_{G,\Lambda}$，证明其同构于$ϴ^k$上的积系统之Cuntz-Pimsner代数。当$G$为可约群且作用为拟自由时，$ϴ_{G,\Lambda}$同构于一种‘路径型’广群C*-代数，从而实现分类：若$λ$存在非零图迹，则$ϴ_{G,\Lambda}$为稳定有限，否则为纯无穷，取决于$λ$是否具有非零图迹。

ABSTRACT

In this paper, we introduce a notion of a self-similar action of a group $G$ on a $k$-graph $Λ$, and associate it a universal C*-algebra $Ø_{G,Λ}$. We prove that $Ø_{G,Λ}$ can be realized as the Cuntz-Pimsner algebra of a product system. If $G$ is amenable and the action is pseudo free, then $Ø_{G,Λ}$ is shown to be isomorphic to a "path-like" groupoid C*-algebra. This facilitates studying the properties of $Ø_{G,Λ}$. We show that $Ø_{G,Λ}$ is always nuclear and satisfies the Universal Coefficient Theorem; we characterize the simplicity of $Ø_{G,Λ}$ in terms of the underlying action; and we prove that, whenever $Ø_{G,Λ}$ is simple, there is a dichotomy: it is either stably finite or purely infinite, depending on whether $Λ$ has nonzero graph traces or not. Our main results generalize the recent work of Exel and Pardo on self-similar graphs.

研究动机与目标

• 将Exel与Pardo关于自相似图C*-代数的工作推广至高秩$k$-图。
• 定义群$G$在$k$-图$\Lambda$上的自相似作用，并构造其关联的普遍C*-代数$ϴ_{G,\Lambda}$。
• 建立$ϴ_{G,\Lambda}$、Cuntz-Pimsner代数与‘路径型’广群C*-代数$ σ^*({\mathcal{G}}_{G,\Lambda})$之间的同构关系。
• 在可约性与拟自由性条件下，刻画$ϴ_{G,\Lambda}$的核性、UCT性质与简单性。
• 证明二分法：当$ϴ_{G,\Lambda}$简单时，若$λ$具有非零图迹，则为稳定有限；否则为纯无穷。

提出的方法

• 定义离散群$G$在$k$-图$\Lambda$上的自相似作用，推广秩1情形。
• 构造$Ν^k$上的积系统$X_{G,\Lambda}$，并将$ϴ_{G,\Lambda}$实现为该系统的Cuntz-Pimsner代数。
• 引入一种‘路径型’广群$σ_{G,\Lambda}$，其为Exel-Pardo在秩1图中构造的推广。
• 利用Cuntz-Nica-Pimsner代数的唯一性定理（Carlsen-Larsen-Sims-Vittadello）证明$ΣΥ_{X_{G,\Lambda}} \cong σ^*(\mathcal{G}_{G,\Lambda})$。
• 通过商映射与唯一性定理，证明$ϴ_{G,\Lambda} \cong ΣΥ_{X_{G,\Lambda}} \cong σ^*(\mathcal{G}_{G,\Lambda})$。
• 应用广群C*-代数的近期结果，分析$ϴ_{G,\Lambda}$的简单性与纯无穷性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何定义$k$-图上的自相似群作用以推广秩1情形？
• RQ2 与这类作用相关的普遍C*-代数$ϴ_{G,\Lambda}$的结构是什么？
• RQ3 在何种条件下$ϴ_{G,\Lambda}$同构于广群C*-代数？
• RQ4 $ϴ_{G,\Lambda}$在何时为简单代数？其分类为稳定有限或纯无穷的决定因素是什么？
• RQ5 若$λ$上存在或不存在非零图迹，将如何影响$ϴ_{G,\Lambda}$的类型？

主要发现

• 普遍C*-代数$ϴ_{G,\Lambda}$同构于$Ν^k$上积系统的Cuntz-Pimsner代数。
• 当$G$为可约群且作用为拟自由时，$ϴ_{G,\Lambda}$同构于广群C*-代数$σ^*(\mathcal{G}_{G,\Lambda})$。
• $ϴ_{G,\Lambda}$总是核代数且满足统一系数定理（UCT）。
• $ϴ_{G,\Lambda}$的简单性由$λ$的$G$-共融性与$G$-非周期性决定。
• 当$ϴ_{G,\Lambda}$简单时，若$λ$具有非零图迹，则为稳定有限；否则为纯无穷。
• 若$ϴ_{G,\Lambda}$简单且为纯无穷，则其为Kirchberg代数，且由其K-理论完全分类。