[论文解读] C*-algebras associated to product systems of Hilbert bimodules

Aidan Sims, Trent Yeend|ArXiv.org|Dec 18, 2007

Advanced Operator Algebra Research参考文献 24被引用 44

一句话总结

本文引入了Cuntz-Nica-Pimsner代数，作为对拟格序群上紧致对齐的希尔伯特双模乘积系统的一种通用C*-代数构造。它推广了Cuntz-Pimsner代数、图C*-代数以及Toeplitz代数的边界商代数，并证明了在一大类系统中，到Cuntz-Nica-Pimsner代数的通用表示是等距的。

ABSTRACT

Let (G,P) be a quasi-lattice ordered group and let X be a compactly aligned product system over P of Hilbert bimodules. Under mild hypotheses we associate to X a C*-algebra which we call the Cuntz-Nica-Pimsner algebra of X. Our construction generalises a number of others: a sub-class of Fowler's Cuntz-Pimsner algebras for product systems of Hilbert bimodules; Katsura's formulation of Cuntz-Pimsner algebras of Hilbert bimodules; the C*-algebras of finitely aligned higher-rank graphs; and Crisp and Laca's boundary quotients of Toeplitz algebras. We show that for a large class of product systems X, the universal representation of X in its Cuntz-Nica-Pimsner algebra is isometric.

研究动机与目标

• 将现有的C*-代数构造——如Cuntz-Pimsner代数、图C*-代数和边界商代数——统一到希尔伯特双模乘积系统框架下。
• 为紧致对齐的拟格序群上的乘积系统定义一种新的通用C*-代数，即Cuntz-Nica-Pimsner代数。
• 建立通用表示进入该代数为等距的条件，扩展了早期关于希尔伯特双模和图代数的研究结果。
• 证明该新构造统一并扩展了已知结果，包括Katsura的相对Cuntz-Pimsner代数和Crisp与Laca的边界商代数。
• 提供一个适用于非行有限图和更一般乘积系统（其中左作用不一定是紧算子）的框架。

提出的方法

• 将Cuntz-Nica-Pimsner代数定义为由拟格序群(G,P)上紧致对齐的希尔伯特双模乘积系统表示所生成的通用C*-代数。
• 利用Katsura的相对Cuntz-Pimsner代数中的协方差条件来定义通用表示，以确保与双模结构的兼容性。
• 应用Fowler与Raeburn的Toeplitz代数唯一性定理，以在保测度条件下建立表示的忠实性。
• 利用乘积系统和拟格序的结构，通过映射$\iota^s_p$和投影$1_p \otimes 1_p^*$定义等距半群表示。
• 通过证明当$p \leq s$对某个$p \in F$时，和式$1_{\mathcal{L}(X_s)} + \sum (-1)^{|H|} \iota^{s}_{\vee H}(1_{\vee H} \otimes 1_{\vee H}^*)$为零，从而证明通用表示是等距的。
• 通过验证边界商代数在通用代数中的定义关系，建立与Crisp和Laca的边界商代数$C_0(\partial\Omega) \rtimes G$的同构关系，适用于右角Artin群。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将Cuntz-Pimsner代数推广到拟格序群中半群上的希尔伯特双模乘积系统？
• RQ2 在何种条件下，乘积系统到其Cuntz-Nica-Pimsner代数的通用表示是等距的？
• RQ3 Cuntz-Nica-Pimsner代数构造能否统一已知的C*-代数构造，如图代数和Toeplitz代数的边界商代数？
• RQ4 拟格序和紧致对齐在确保通用C*-代数的存在性与唯一性方面起什么作用？
• RQ5 该新构造如何将Katsura的相对Cuntz-Pimsner代数推广到非行有限和非单射的情形？

主要发现

• Cuntz-Nica-Pimsner代数$\mathcal{NO}_X$被定义为拟格序群$(G,P)$上紧致对齐乘积系统$X$的通用C*-代数，推广了多种现有构造。
• 对于一大类乘积系统，到$\mathcal{NO}_X$的通用表示是等距的，即每个生成元的范数被保持。
• 该构造推广了Katsura的相对Cuntz-Pimsner代数，使得任意（非行有限）图的图C*-代数均可被定义。
• 在右角Artin群$(G,P)$上，乘积系统$X = \mathbb{C}^P$的Cuntz-Nica-Pimsner代数同构于Crisp与Laca的边界商代数$C_0(\partial\Omega) \rtimes G$。
• 通过验证$\mathcal{NO}_X$中生成元$W_s = j_X(1_s)$满足边界商代数的定义关系（包括$\Gamma^{\text{opp}}$中有限连通分支的乘积条件$\prod_{s \in C} (1 - T_s T_s^*) = 0$），建立了同构关系。
• 由于$C_0(\partial\Omega) \rtimes G$的简单性以及通用态射的满射性，可推出映射$\pi: C_0(\partial\Omega) \rtimes G \to \mathcal{NO}_X$是同构，从而确认了其通用性质。