[论文解读] Semi-closed form prices of barrier options in the Hull-White model

Andrey Itkin, Dmitry Muravey|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2020

Stochastic processes and financial applications参考文献 16被引用 6

一句话总结

本文提出了一种在时变Hull-White模型下，针对零息债券的敲出障碍期权的半闭式解法，采用两种新方法：热势法（HP）与广义积分变换法（GIT）。该方法通过数值求解一阶第一类线性Volterra方程，并将期权价格表示为一维积分，相较于有限差分法具有更高的计算效率与精度，同时可通过积分号下求导实现快速希腊值计算。

ABSTRACT

In this paper we derive semi-closed form prices of barrier (perhaps, time-dependent) options for the Hull-White model, ie., where the underlying follows a time-dependent OU process with a mean-reverting drift. Our approach is similar to that in (Carr and Itkin, 2020) where the method of generalized integral transform is applied to pricing barrier options in the time-dependent OU model, but extends it to an infinite domain (which is an unsolved problem yet). Alternatively, we use the method of heat potentials for solving the same problems. By semi-closed solution we mean that first, we need to solve numerically a linear Volterra equation of the first kind, and then the option price is represented as a one-dimensional integral. Our analysis shows that computationally our method is more efficient than the backward and even forward finite difference methods (if one uses them to solve those problems), while providing better accuracy and stability.

研究动机与目标

• 推导时变障碍期权在Hull-White模型下的半闭式定价公式，其中标的资产遵循均值回归的Ornstein-Uhlenbeck过程。
• 将现有方法（此前仅适用于有限区间）扩展至无限区间，解决文献中尚未解决的问题。
• 为奇异利率衍生品（特别是障碍期权）提供计算高效且高度精确的定价方法。
• 通过利用解的解析结构，实现快速且精确的期权希腊值计算。
• 证明所提出的方法在速度与稳定性方面均优于传统的有限差分格式。

提出的方法

• 将热势法（HP）应用于求解在无限区间 $ r \in [y(t), \infty) $ 上的抛物型PDE，其中 $ y(t) $ 为时变障碍。
• 将广义积分变换（GIT）方法扩展至无限区间，通过将PDE转化为第一类Volterra方程求解同一问题。
• 求解过程包括数值求解一阶第一类线性Volterra方程，随后通过计算一维积分获得期权价格。
• 期权价格表示为 $ C = \int K(x) \, dx $，其中核函数 $ K(x) $ 依赖于Volterra方程的解及特殊函数。
• 采用高阶求积规则对积分进行离散化，实现在极低计算开销下保持高精度。
• 通过积分号下求导计算期权希腊值，复用预先计算的密度项以提升效率。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在无限区间上为时变障碍期权在Hull-White模型下推导出半闭式解？
• RQ2 在长期期限与高行权价下，热势法与广义积分变换法在精度与收敛性方面如何比较？
• RQ3 所提出的方法在障碍期权定价中是否能实现比有限差分法更高的计算效率与稳定性？
• RQ4 解的解析结构在多大程度上可支持快速且精确的希腊值计算？
• RQ5 HP法与GIT法在具有时变系数的热方程中的收敛特性有何不同？

主要发现

• 所提方法解决了Hull-White模型下在无限区间 $ r \in [y(t), \infty) $ 上障碍期权的定价问题，该问题此前在文献中尚未解决。
• 与向后与向前有限差分格式相比，该方法在小期权价格、高行权价与长到期期限下表现出更高的精度与稳定性。
• 在高行权价与长到期期限下，解中的第一个积分可忽略不计，问题简化为仅含第二个积分的纯解析表达式。
• 通过积分号下求导，可几乎不增加额外计算成本地同时计算期权价格与希腊值，且可复用预先计算的密度项。
• 该方法的计算复杂度与向前有限差分法相当或更低，同时显著提升了精度与稳定性。