[论文解读] Semi-Perfect Obstruction theory and DT Invariants of Derived Objects

Huai-Liang Chang, Jun Li|arXiv (Cornell University)|May 17, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 16被引用 9

一句话总结

本文为Deligne-Mumford堆引入了半完美障碍理论，使得可通过障碍层上的Gysin拉回构造虚拟圈。该框架被应用于卡拉比-丘三fold上导出对象的模空间，通过将内在法锥嵌入障碍层并利用丛堆上的交比理论，证明了唐纳森-托马斯不变量的形变不变性。

ABSTRACT

We introduce semi-perfect obstruction theory of a Deligne-Mumford stack $X$ consisting of local perfect obstruction theories with weak comparisons on overlaps. We show that semi-perfect obstruction theory shares similar properties with perfect obstruction theory. We use semi-perfect obstruction theory to construct virtual cycles of moduli of derived objects on Calabi-Yau threefolds. In the revision, we assume the existence of obstruction sheaf and put the (coarse moduli of the) intrinsic normal cone inside the obstruction sheaf. This avoids the issue of descent of bundle stacks of the local obstruction complexes.

研究动机与目标

• 为缺乏普遍族的模堆（如导出对象的模）开发新的障碍理论框架。
• 统一[BF]中的局部完美障碍理论与[LT]中的全局障碍层结构，实现灵活的虚拟圈构造。
• 通过将内在法锥嵌入障碍层，为卡拉比-丘三fold上导出对象的模空间建立虚拟圈构造。
• 通过Gysin拉回与圈粘合，证明此类模空间中唐纳森-托马斯不变量的形变不变性。
• 将Behrend-Fantechi与Kresch风格的虚拟圈构造推广到全局向量丛不可用的情形。

提出的方法

• 将半完美相对障碍理论定义为局部完美障碍理论 $\phi_\alpha: E_\alpha \to \mathbb{L}_{U_\alpha/{\cal M}}^{\bullet\geq-1}$ 的集合，其障碍层 $\mathcal{O}b_{\phi_\alpha} = H^1(E_\alpha^\vee)$ 具有相容性，并在 $X$ 上全局下降。
• 通过局部锥 $\mathcal{C}_{U_\alpha/{\cal M}} \subset h^1/h^0((\mathbb{L}_{U_\alpha/{\cal M}})^\vee)$ 的粘合，将内在法锥 $\mathfrak{c}_{X/{\cal M}}$ 构造为丛层 $\mathcal{O}b_\phi$ 中的圈。
• 将虚拟圈 $[X,\phi]^{\mathrm{vir}}$ 定义为通过 $\mathcal{O}b_\phi$ 的零截面 $s$ 对全局圈 $[\mathfrak{c}_{X/{\cal M}}]$ 的Gysin拉回 $s^!$。
• 利用卡拉比-丘三fold上导出对象模空间中半完美障碍理论的存在性（来自[HT]与[Li]），应用该构造并定义DT不变量。
• 通过Gysin映射与障碍数据的相容性，证明形变不变性：对任意闭点 $b \in B$，有 $i_b^! [X]^{\mathrm{vir}} = [X_b]^{\mathrm{vir}}$。
• 当局部障碍理论源自 $X$ 上的全局完美复形 $E$ 时，虚拟圈可上拉至 $h^1/h^0(E^\vee)$，从而允许在丛堆上通过 $\tilde{s}^!$ 直接进行交比理论计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于缺乏普遍族但具有障碍层的导出对象模堆，能否构造虚拟圈？
• RQ2 如何以支持Gysin拉回的方式，将内在法锥全局嵌入障碍层中？
• RQ3 通过障碍层嵌入的虚拟圈构造是否能产生形变不变的唐纳森-托马斯不变量？
• RQ4 何种条件可确保局部完美障碍理论粘合成具有一致障碍赋值的全局半完美障碍理论？
• RQ5 当全局向量丛不可用时，障碍层上的Gysin映射是否能恢复标准虚拟圈？

主要发现

• 每个 étale 图 $U_\alpha$ 的内在法锥 $\mathcal{C}_{U_\alpha/{\cal M}}$ 可粘合成 $\mathcal{O}b_\phi$ 中的全局圈 $[\mathfrak{c}_{X/{\cal M}}]$，从而实现全局虚拟圈构造。
• 虚拟圈 $[X,\phi]^{\mathrm{vir}} = s^! [\mathfrak{c}_{X/{\cal M}}]$ 是良定义的，并满足虚拟类的标准性质。
• 对于卡拉比-丘三fold上导出对象的模空间，半完美障碍理论存在，其生成的虚拟圈的次数即为唐纳森-托马斯不变量。
• 虚拟圈具有形变不变性：对任意闭点 $b \in B$，Gysin拉回 $i_b^! [X]^{\mathrm{vir}}$ 等于纤维的虚拟圈 $[X_b]^{\mathrm{vir}}$。
• 当局部障碍理论源自全局完美复形 $E$ 时，虚拟圈可上拉至 $h^1/h^0(E^\vee)$，从而允许通过 $\tilde{s}^!$ 直接进行交比理论计算。
• 半完美障碍理论统一了[BF]的局部方法与[LT]的全局Kuranishi型构造，为虚拟圈理论提供了灵活的框架。