[论文解读] Semi-positivity from Higgs bundles

Yohan Brunebarbe|arXiv (Cornell University)|Jul 26, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 18被引用 15

一句话总结

本文建立了光滑拟射影复流形上过滤正则极小可去 Higgs 线丛与纯正则谐波丛的广义半正性定理，证明在多项式稳定性与旁征 Chern 类消失的条件下，Higgs 丛的核中子层的对偶是弱正的。该结果推广了 Fujita-Kawamata-Zuo 半正性定理，并适用于具有无限单值群的半单局部系统。

ABSTRACT

We prove a generalization of the Fujita-Kawamata-Zuo semi-positivity Theorem for filtered regular meromorphic Higgs bundles and tame harmonic bundles. Our approach gives a new proof in the cases already considered by these authors. We give also an application to the geometry of smooth quasi-projective complex varieties admitting a semisimple complex local system with infinite monodromy.

研究动机与目标

• 将 Fujita-Kawamata-Zuo 半正性定理推广至过滤正则极小可去 Higgs 线丛与纯正则谐波丛。
• 利用谐波丛技巧，为先前已知情形提供半正性的新证明。
• 研究支持具有无限单值群的半单局部系统的光滑拟射影复流形的几何性质。
• 建立 Higgs 丛中子层对偶为弱正或 nef 的条件。
• 将层对偶的半正性与谐波丛上奇异 Hermitian 度量的曲率性质相联系。

提出的方法

• 通过 Simpson 对应关系，利用纯正则谐波丛与过滤正则极小可去 Higgs 线丛之间的对应。
• 在具有次多项式增长的截面子层上构造一个具有半负曲率的奇异 Hermitian 度量。
• 应用受限基底簇与 Lelong 数的理论，分析对偶层的正性。
• 利用如下事实：拟射影流形上的纯正则谐波丛源自具有非负留数特征值的复极化 Hodge 结构变化。
• 证明具有离散且无限单值群的纯虚谐波丛的 Higgs 映射是单射。
• 通过沿态射的谐波丛拉回，保持纯正则性与纯度，从而将问题约化为曲线上的局部分析。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，Higgs 丛中核内子层的对偶是弱正的？
• RQ2 Higgs 丛的半正性如何与诱导奇异 Hermitian 度量的曲率相关？
• RQ3 在存在具有无限单值群的半单局部系统的光滑拟射影流形上，会产生何种几何约束？
• RQ4 何时纯虚谐波丛的 Higgs 丛为零？这对其单值群意味着什么？
• RQ5 受限基底簇如何通过子层的奇点与无穷远除子来控制其对偶层？

主要发现

• 若过滤正则极小可去 Higgs 线丛的底层向量丛中子层在 Higgs 丛的核内，且该 Higgs 丛关于 μ_L 为多项式稳定并具有消失的旁征 Chern 类，则其对偶是弱正的。
• 在平凡旁征过滤的情形下，该子层的对偶是 nef，从而给出更强的正性结果。
• 对于拟射影流形上的纯正则谐波丛，其在谐波度量下具有次多项式增长的截面子层是一个无挠的凝聚层。
• 若该子层包含于 Higgs 丛的核中，则其对偶上诱导的度量可延拓为具有半负曲率的奇异 Hermitian 度量。
• 在具有非负留数特征值的 log C-PVHS 情形下，核子层上诱导的度量可唯一延拓为具有半负曲率的奇异 Hermitian 度量。
• 对于具有离散且无限单值群的纯虚纯正则谐波丛，从切丛到自同态丛的 Higgs 映射是通用单射，意味着 Higgs 丛非零。