[论文解读] Semi-stable Higgs sheaves and Bogomolov type inequality

Jiayu Li, Chuanjing Zhang+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2016

Geometry and complex manifolds参考文献 15被引用 3

一句话总结

本文通过分析方法证明了在紧致凯勒流形上，半稳定可反射赫尔米特-爱因斯坦结构的近似存在性，为这类赫尔米特-爱因斯坦结构建立了博戈莫洛夫型不等式。该结果确认了在赫尔米特-爱因斯坦结构设定下，微分几何对偶于代数几何中半稳定性的概念。

ABSTRACT

In this paper, we study semistable Higgs sheaves over compact Kähler manifolds, we prove that there is an approximate admissible Hermitian-Einstein structure on a semi-stable reflexive Higgs sheaf and consequently, the Bogomolove type inequality holds on a semi-stable reflexive Higgs sheaf.

研究动机与目标

• 在紧致凯勒流形上，建立半稳定可反射赫尔米特-爱因斯坦结构的近似存在性。
• 通过分析技术将唐纳森-乌伦贝克-亚乌定理推广至可反射赫尔米特-爱因斯坦结构设定。
• 在紧致凯勒流形上，为半稳定可反射赫尔米特-爱因斯坦结构证明博戈莫洛夫型不等式。
• 解决小林关于赫尔米特-爱因斯坦结构近似性的猜想，适用于赫尔米特-爱因斯坦结构设定。

提出的方法

• 在可反射赫尔米特-爱因斯坦结构 $ (\mathcal{E}, \phi) $ 的正则点集 $ M\setminus\Sigma $ 上，构造一族赫尔米特度量 $ H_{\rho} $，使其满足近似赫尔米特-爱因斯坦条件。
• 利用希钦-辛普森联络 $ D_{H,\phi} $ 及其曲率 $ F_{H,\phi} $，定义包含 $ \sqrt{-1}\Lambda_{\omega}(F_H + [\phi, \phi^{*H}]) = \lambda \mathrm{Id}_{\mathcal{E}} $ 的赫尔米特-爱因斯坦方程。
• 通过近似解序列 $ H_{\epsilon} $ 的极限论证，证明其在 $ M\setminus\Sigma $ 上关于 $ C^{\infty} $-拓扑收敛至极限度量 $ H $。
• 通过验证曲率的平方可积性及 $ |\Lambda_{\omega}F_H|_H $ 的一致有界性，证明极限度量 $ H $ 满足可接受赫尔米特-爱因斯坦条件。
• 利用辛普森技巧构造一个饱和赫尔米特-爱因斯坦子层 $ \mathcal{F} \subset \mathcal{E} $，满足 $ \mu_\omega(\mathcal{F}) \geq \mu_\omega(\mathcal{E}) $，若 $ (\mathcal{E}, \phi) $ 稳定则导致矛盾。
• 通过近似结构的存在性及陈类的相应有界性，建立博戈莫洛夫型不等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个紧致凯勒流形上的半稳定可反射赫尔米特-爱因斯坦结构是否都存在近似可接受赫尔米特-爱因斯坦结构？
• RQ2 能否通过分析方法证明在紧致凯勒流形上，半稳定可反射赫尔米特-爱因斯坦结构的博戈莫洛夫不等式？
• RQ3 对于可反射赫尔米特-爱因斯坦结构，近似赫尔米特-爱因斯坦结构的存在性是否等价于半稳定性？
• RQ4 小林关于近似赫尔米特-爱因斯坦结构的猜想能否推广至赫尔米特-爱因斯坦结构设定？
• RQ5 可反射赫尔米特-爱因斯坦结构存在可接受赫尔米特-爱因斯坦度量的充要条件是什么？

主要发现

• 在紧致凯勒流形上，可反射赫尔米特-爱因斯坦结构 $ (\mathcal{E}, \phi) $ 是半稳定的，当且仅当其存在近似可接受赫尔米特-爱因斯坦结构。
• 近似赫尔米特-爱因斯坦度量序列 $ H_\epsilon $ 的极限在 $ M\setminus\Sigma $ 上关于 $ C^{\infty} $-拓扑收敛至满足可接受赫尔米特-爱因斯坦方程的赫尔米特度量 $ H $。
• 该度量 $ H $ 是可接受的：$ |F_H|_{H,\omega} \in L^2 $ 且 $ |\Lambda_\omega F_H|_H $ 在 $ M\setminus\Sigma $ 上一致有界。
• 博戈莫洛夫型不等式成立：对于秩为 $ r $ 的半稳定可反射赫尔米特-爱因斯坦结构，有 $ \int_M \left(2c_2(\mathcal{E}) - \frac{r-1}{r}c_1(\mathcal{E}) \wedge c_1(\mathcal{E}) \right) \wedge \frac{\omega^{n-2}}{(n-2)!} \geq 0 $。
• 证明依赖于构造一个 $ L^1 $-截面 $ \tilde{u}_0 $，其取值于 $ \mathrm{End}(\mathcal{E}) $，且迹为零，若赫尔米特-爱因斯坦结构稳定但非半稳定，则可由此导出矛盾。
• 该方法避免了代数几何技术，为凯勒设定下博戈莫洛夫不等式的微分几何证明提供了新途径，与兰格的代数方法相区别。