[论文解读] Semibounded representations and invariant cones in infinite dimensional Lie algebras

Karl‐Hermann Neeb|ArXiv.org|Nov 23, 2009

Advanced Topics in Algebra参考文献 55被引用 4

一句话总结

本文為無限維李群的半有界酉表示發展了一套幾何與分析框架，利用李代數中的不變錐與動量映射。該理論統一了凸分析、辛幾何與複分析的概念，並證明了維拉索羅代數與圓周微分同胚群的不可約半有界表示，恰好是酉最高權表示及其對偶。

ABSTRACT

A unitary representation of a, possibly infinite dimensional, Lie group $G$ is called semi-bounded if the corresponding operators $i\ddπ(x)$ from the derived representations are uniformly bounded from above on some non-empty open subset of the Lie algebra $\g$. In the first part of the present paper we explain how this concept leads to a fruitful interaction between the areas of infinite dimensional convexity, Lie theory, symplectic geometry (momentum maps) and complex analysis. Here open invariant cones in Lie algebras play a central role and semibounded representations have interesting connections to $C^*$-algebras which are quite different from the classical use of the group $C^*$-algebra of a finite dimensional Lie group. The second half is devoted to a detailed discussion of semibounded representations of the diffeomorphism group of the circle, the Virasoro group, the metaplectic representation on the bosonic Fock space and the spin representation on fermionic Fock space.

研究动机与目标

• 發展無限維李群半有界酉表示的一般理論，其中經典工具如哈爾測度與結構理論皆不可用。
• 在酉表示的脈絡下，統一凸分析、辛幾何、複幾何與 $C^*$-代數的概念。
• 利用幾何與代數不變量，特徵化維拉索羅群與圓周微分同胚群的不可約半有界表示。
• 透過哈密頓作用與光滑向量空間，建立半有界表示與 $C^*$-動力系統之間的聯繫。
• 證明錐態與自旋福克表示為半有界，將已知結果推廣至無限維設定。

提出的方法

• 採用半有界性的概念：在李代數 $\mathfrak{g}$ 的某個非空開子集上，$i\text{d}\rho(x)$ 的運算元均為一致有下界的酉表示。
• 應用動量映射與動量集，透過 $\mathfrak{g}'$ 中弱-*閉凸包來研究導出表示的譜性質。
• 以李代數中的不變錐作為分類半有界表示的核心幾何結構。
• 應用巴拿赫–李群在光滑向量上作用的結果，於 $\mathcal{H}^\infty$ 的射影空間上構造哈密頓作用。
• 利用定理 5.7，將表示實現於線叢的全純截面空間中，並計算其動量集。
• 分析 $\mathcal{V}(\mathbb{S}^1)$ 與 $\mathfrak{vir}$ 的伴隨與余伴隨軌道，將不可約半有界表示識別為最高權表示及其對偶。

实验结果

研究问题

• RQ1 在缺乏局部緊緻性與結構理論的無限維李群中，如何系統地研究半有界表示？
• RQ2 不變錐在無限維李代數半有界表示分類中扮演何種角色？
• RQ3 動量映射與動量集如何在本脈絡中特徵化導出表示的譜性質？
• RQ4 能否證明玻色子與費米子福克空間上的錐態與自旋福克表示為半有界？
• RQ5 維拉索羅代數與 $\mathrm{Diff}_+(\mathbb{S}^1)$ 的不可約半有界表示是否恰好為酉最高權表示及其對偶？

主要发现

• 在玻色子福克空間上的錐態表示與在費米子福克空間上的自旋表示為半有界，此結果此前在無限維設定中尚未確立。
• 對 $\mathcal{V}(\mathbb{S}^1)$ 與 $\mathfrak{vir}$ 的伴隨與余伴隨軌道之分析，完整識別出不可約半有界表示與酉最高權表示及其對偶。
• 半有界表示的動量集為 $\mathfrak{g}'$ 中的弱-*閉凸子集，其結構與不變錐的幾何密切相關。
• 巴拿赫–李群在 $\mathcal{H}^\infty$ 上作用的光滑性，使於 $\mathbb{P}(\mathcal{H}^\infty)$ 上構造哈密頓作用成為可能，此為動量映射理論的關鍵。
• 定理 7.4 建立了滿足譜條件的 $C^*$-動力系統與半直積群 $\mathrm{U}(\mathcal{A}^\infty) \rtimes H$ 的半有界表示之間的連結，將 $C^*$-代數工具延伸至此脈絡。
• 本理論透過線叢的全純截面，提供了半有界表示的幾何實現，其中定理 5.7 為此構造之關鍵技術工具。