[论文解读] Semiclassical analysis of elastic surface waves

Maarten V. de Hoop, Alexei Iantchenko+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2017

Seismic Waves and Analysis参考文献 24被引用 10

一句话总结

本文提出了一套半经典框架，用于分析三维层状介质中的弹性表面波，利用从法向一维薛定谔型算子导出的有效哈密顿量来描述表面波传播。主要贡献包括：严格的参数解构造、表面模态计数的威耳（Weyl）定律，以及在横向各向同性条件下的瑞利波与洛夫波解耦，适用于地震学与波导理论。

ABSTRACT

In this paper, we present a semiclassical description of surface waves or modes in an elastic medium near a boundary, in spatial dimension three. The medium is assumed to be essentially stratified near the boundary at some scale comparable to the wave length. Such a medium can also be thought of as a surficial layer (which can be thick) overlying a half space. The analysis is based on the work of Colin de Verdière on acoustic surface waves. The description is geometric in the boundary and locally spectral "beneath" it. Effective Hamiltonians of surface waves correspond with eigenvalues of ordinary differential operators, which, to leading order, define their phase velocities. Using these Hamiltonians, we obtain pseudodifferential surface wave equations. We then construct a parametrix. Finally, we discuss Weyl's formulas for counting surface modes, and the decoupling into two classes of surface waves, that is, Rayleigh and Love waves, under appropriate symmetry conditions.

研究动机与目标

• 开发一种针对三维层状介质中边界附近波长尺度相近的弹性表面波的半经典理论。
• 通过法向一维薛定谔型算子的本征值导出的有效哈密顿量，表征表面波传播。
• 利用伪微分算子与边界上的双特征流，构造表面波的参数解。
• 在各向同性和各向异性情形下，推导表面模态计数的威耳定律。
• 在横向各向同性条件下，将表面波解耦为瑞利波与洛夫波类型，推广经典地震学模型。

提出的方法

• 通过法向坐标与局部层状结构，将三维波动方程约化为边界自适应系统，构造弹性表面波的半经典参数解。
• 在二维边界上定义有效哈密顿量，其为法向一维薛定谔型算子的本征值，决定表面波相速度。
• 使用具有非齐次主符号的伪微分算子建模表面波动力学，其哈密顿量作为主符号。
• 应用谱论分析法向方向算子的离散谱与连续谱，识别点谱为表面波，连续谱为体波。
• 通过伪微分算子的迹类估计与本征值分布的渐近分析，建立表面模态计数的威耳定律。
• 在横向各向同性条件下，通过分析对称性条件与法向方向本征函数行为，实现瑞利波与洛夫波的解耦。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何基于有效哈密顿量的半经典框架描述层状三维介质中的弹性表面波？
• RQ2 法向一维薛定谔型算子的本征值与边界表面波相速度之间有何关系？
• RQ3 如何利用伪微分算子与双特征流构造表面波的参数解？
• RQ4 表面模态的渐近计数法则为何？其在各向同性和各向异性情形下如何推广威耳定律？
• RQ5 在何种对称性条件下，表面波可解耦为瑞利波与洛夫波类型？这与法向算子的谱结构有何关联？

主要发现

• 表面波的有效哈密顿量与法向一维薛定谔型算子的本征值一致，决定表面波相速度。
• 利用主符号由这些有效哈密顿量导出的伪微分算子，构造了弹性表面波的参数解，实现渐近解的求解。
• 法向薛定谔型算子的离散谱对应表面波，连续谱对应体波，即使谱重叠亦成立。
• 在各向同性和各向异性情形下均建立了表面模态计数的威耳定律，渐近公式由伪微分算子的迹类估计导出。
• 在对称轴垂直于边界的横向各向同性条件下，表面波可解耦为瑞利波与洛夫波类型，与经典地震学模型一致。
• 广义的巴内特-洛思条件确保法向方向存在指数衰减的本征函数，表征局域化表面模态。