[论文解读] Semicontinuity of the {\L}ojasiewicz exponent

Arkadiusz Płoski|arXiv (Cornell University)|Feb 23, 2011

Holomorphic and Operator Theory参考文献 4被引用 5

一句话总结

该论文在有限全纯芽 $ f: (ℂ^n,0) \to (ℂ^n,0) $ 的多重性不变形下，建立了 Łojasiewicz 指数 $ l_0(f) $ 的下半连续性。通过函数相对于芽的特征多项式及牛顿多边形的性质，证明了当 $ t $ 接近 0 时，有 $ l_0(F_0) \leq l_0(F_t) $，在一参族情形下等式成立。该结果将 Teissier 对 $ \mu $-不变形的半连续性结果推广至更广泛的多重性不变形类。

ABSTRACT

We prove that the {\\L}ojasiewicz exponent $l_0(f)$ of a finite holomorphic germ $f:(C^n,0)\ o(C^n,0)$ is lower semicontinuous in any multiplicity-constant deformation of $f$.

研究动机与目标

• 在多重性不变形下，建立有限全纯芽的 Łojasiewicz 指数 $ l_0(f) $ 的半连续性。
• 将 Teissier 关于 $ \mu $-不变形的早期结果推广至更广泛的多重性不变形类。
• 通过函数相对于芽的特征多项式与牛顿多边形，分析 Łojasiewicz 指数的行为。
• 证明函数相对于变形芽的牛顿多边形包含于原始芽的牛顿多边形中，从而反映半连续性。

提出的方法

• 使用 Łojasiewicz 指数的定义：$ l_0(f) = \sup_{\phi} \left\{ \frac{\mathrm{ord}(f \circ \phi)}{\mathrm{ord}(\phi)} \right\} $，其中 $ \phi $ 取遍全纯弧。
• 应用函数 $ h $ 相对于变形 $ F(t,z) $ 的特征多项式 $ P_h(t,w,s) \in \mathbb{C}\{t,w\}[s] $，其编码了芽的代数结构。
• 定义阶 $ o_{F_t}(h) = \inf_i \left\{ \frac{\mathrm{ord}(a_i(t,w))}{i} \right\} $，并证明该阶在 $ t $ 上是下半连续的。
• 利用特征多项式的牛顿多边形 $ \mathcal{N}(F_t, h) $ 分析 Łojasiewicz 指数，其第一条边的倾角给出 $ 1/o_{F_t}(h) $。
• 证明当 $ t $ 接近 0 时，有 $ \mathcal{N}(F_t, h) \subset \mathcal{N}(F_0, h) $，从而推出阶的半连续性，进而推出 Łojasiewicz 指数的半连续性。
• 证明在一参族情形下，对 $ t \neq 0 $，有 $ o_{F_t}(h) $ 为常数，因此 $ l_0(F_t) $ 为常数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在有限全 holomorphic germs 的多重性不变形下，Łojasiewicz 指数是否下半连续？
• RQ2 函数相对于芽的牛顿多边形在这些变形下如何变化？
• RQ3 能否通过函数相对于变形的特征多项式建立 Łojasiewicz 指数的半连续性？
• RQ4 在一参族情形下，是否在中心纤维外无跳跃发生，即 Łojasiewicz 指数保持不变？
• RQ5 变形芽与原始芽的牛顿多边形之间有何关系？

主要发现

• 在多重性不变形下，Łojasiewicz 指数 $ l_0(f) $ 是下半连续的：当 $ t $ 接近 0 时，有 $ l_0(F_0) \leq l_0(F_t) $。
• 在一参族情形下，对 $ t \neq 0 $，有 $ l_0(F_t) $ 为常数，表明在中心纤维外无跳跃发生。
• 函数 $ h $ 相对于 $ F_t $ 的牛顿多边形 $ \mathcal{N}(F_t, h) $ 满足：当 $ t $ 接近 0 时，有 $ \mathcal{N}(F_t, h) \subset \mathcal{N}(F_0, h) $。
• 决定 $ l_0(F_t) $ 的阶 $ o_{F_t}(h) $ 在 $ t $ 上是下半连续的，且满足 $ o_{F_t}(h) \leq o_{F_0}(h) $。
• Łojasiewicz 指数 $ l_0(f) $ 满足 $ l_0(f) \leq \mathrm{m}_0(f) $，且等号成立当且仅当在原点处雅可比矩阵的秩至少为 $ n-1 $。
• 牛顿多边形 $ \mathcal{N}(f,h) $ 与 Teissier 的 $ \mathcal{N}_{\mathrm{I}(f)}(h) $ 一致，将本结果与关于混合重数的现有理论联系起来。