[论文解读] Semicrossed products of operator algebras and their C*-envelopes

Evgenios T. A. Kakariadis, Elias G. Katsoulis|arXiv (Cornell University)|Aug 13, 2010

Advanced Operator Algebra Research参考文献 15被引用 6

一句话总结

本文引入了酉算子代数 ${\mathcal{A}}$ 与自同构 $\alpha$ 的等距半交叉积，其中 $\alpha$ 延拓为 C*-包络上的 $*$-自同构。本文证明，该等距半交叉积的 C*-包络同构于 ${\mathcal{A}}$ 的 C*-包络与 $\alpha$ 的交叉积，从而解决了半交叉积与其 C*-包络之间关系的关键问题。该结果推广了关于非交换圆盘代数的早期发现，并进一步扩展至 C*-对应关系的张量代数。

ABSTRACT

Let $\A$ be a unital operator algebra and let $α$ be an automorphism of $\A$ that extends to a *-automorphism of its $\ca$-envelope $\cenv (\A)$. In this paper we introduce the isometric semicrossed product $\A imes_α^{\is} \bbZ^+ $ and we show that $\cenv(\A imes_α^{\is} \bbZ^+) \simeq \cenv (\A) imes_α \bbZ$. In contrast, the $\ca$-envelope of the familiar contractive semicrossed product $\A imes_α \bbZ^+ $ may not equal $\cenv (\A) imes_α \bbZ$. Our main tool for calculating $\ca$-envelopes for semicrossed products is the concept of a relative semicrossed product of an operator algebra, which we explore in the more general context of injective endomorphisms. As an application, we extend a recent result of Davidson and Katsoulis to tensor algebras of $\ca$-correspondences. We show that if $\T_{\X}^{+}$ is the tensor algebra of a $\ca$-correspondence $(\X, \fA)$ and $α$ a completely isometric automorphism of $\T_{\X}^{+}$ that fixes the diagonal elementwise, then the contractive semicrossed product satisfies $ \cenv(\T_{\X}^{+} imes_α \bbZ^+)\simeq Ø_{\X} imes_α \bbZ$, where $Ø_{\X}$ denotes the Cuntz-Pimsner algebra of $(\X, \fA)$.

研究动机与目标

• 澄清不同类型的算子代数半交叉积与其 C*-包络之间的关系。
• 确定等距半交叉积与压缩半交叉积重合的条件。
• 计算半交叉积的 C*-包络，特别是当自同构延拓至代数的 C*-包络时的情形。
• 将 Davidson 与 Katsoulis（2013）关于非交换圆盘代数的主要结果推广至 C*-对应关系的张量代数。

提出的方法

• 引入等距半交叉积 ${\mathcal{A}} \times_{\alpha}^{\text{is}} \mathbb{Z}^+$ 作为由 ${\mathcal{A}}$ 和实现 $\alpha$ 的等距生成的泛算子代数。
• 将相对半交叉积定义为对单射自同态的推广，从而实现等距与压缩构造之间的比较。
• 使用泛半交叉积的概念与具体表示来分析所得代数的结构。
• 应用完全有界映射的 Schwarz 不等式，分析表示中的矩阵元，证明关键的消失性结论。
• 构造一列等距表示，并利用强算子拓扑极限将表示扩展至无限直和，同时保持协变性。
• 应用定理 2.6，表明在完全等距自同构下等距与相对半交叉积重合，从而推导出 C*-包络的主要结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，算子代数的等距半交叉积与压缩半交叉积重合？
• RQ2 半交叉积的 C*-包络与原始代数 C*-包络的交叉积之间有何关系？
• RQ3 在完全等距自同构下，C*-对应关系的张量代数的 C*-包络是否可识别为 Cuntz-Pimsner 代数的交叉积？
• RQ4 自同构延拓至 C*-包络在决定半交叉积结构中的作用是什么？

主要发现

• 当 $\alpha$ 延拓为 ${\mathcal{A}}$ 的 C*-包络上的 $*$-自同构时，等距半交叉积 ${\mathcal{A}} \times_{\alpha}^{\text{is}} \mathbb{Z}^+$ 的 C*-包络同构于 $\mathrm{C}^*_{\text{env}}({\mathcal{A}}) \times_{\alpha} \mathbb{Z}$。
• 对于任意单态算子代数 ${\mathcal{A}}$ 与 ${\mathcal{A}}$ 的完全等距自同构 $\alpha$，等距半交叉积与相对半交叉积重合。
• 对于 C*-对应关系 $({\mathcal{X}}, {\mathfrak{A}})$ 的张量代数 ${\mathcal{T}}_{{\mathcal{X}}}^{+}$，若 $\alpha$ 是固定 ${\mathfrak{A}}$ 点点的完全等距自同构，则 ${\mathcal{T}}_{{\mathcal{X}}}^{+} \times_{\alpha}^{\text{is}} \mathbb{Z}^+ \simeq {\mathcal{T}}_{{\mathcal{X}}}^{+} \times_{\alpha} \mathbb{Z}^+$。
• 压缩半交叉积 ${\mathcal{T}}_{{\mathcal{X}}}^{+} \times_{\alpha} \mathbb{Z}^+$ 的 C*-包络同构于交叉积 ${\mathcal{O}}_{{\mathcal{X}}} \times_{\alpha} \mathbb{Z}$，其中 ${\mathcal{O}}_{{\mathcal{X}}}$ 是 $({\mathcal{X}}, {\mathfrak{A}})$ 的 Cuntz-Pimsner 代数。
• 利用等距表示的强算子拓扑极限的证明技术，可构造一个完全有界表示，该表示可扩张原始系统，从而实现 C*-包络的识别。