[论文解读] Semidefinite Representation of Convex Sets

J. William Helton, Jiawang Nie|ArXiv.org|May 28, 2007

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 17被引用 6

一句话总结

本文建立了凸、紧致、半代数集为半定规划可表征（SDP可表征）的充分条件，即其可表示为高维空间中由线性矩阵不等式（LMI）定义的集合的投影。关键贡献在于，在定义多项式具有正定拉格朗日黑塞矩阵、平方和凹性（sos-concavity）或边界上正曲率等条件下，证明了SDP可表征性，方法基于强化的Positivstellensatz表示。

ABSTRACT

Let $S =\{x\in e^n: g_1(x)\geq 0, ..., g_m(x)\geq 0\}$ be a semialgebraic set defined by multivariate polynomials $g_i(x)$. Assume $S$ is convex, compact and has nonempty interior. Let $S_i =\{x\in e^n: g_i(x)\geq 0\}$, and $\bdS$ (resp. $\bdS_i$) be the boundary of $S$ (resp. $S_i$). This paper discusses whether $S$ can be represented as the projection of some LMI representable set. Such $S$ is called semidefinite representable or SDP representable. The contributions of this paper: {\bf (i)} Assume $g_i(x)$ are all concave on $S$. If the positive definite Lagrange Hessian (PDLH) condition holds, i.e., the Hessian of the Lagrange function for optimization problem of minimizing any nonzero linear function $\ell^Tx$ on $S$ is positive definite at the minimizer, then $S$ is SDP representable. {\bf (ii)} If each $g_i(x)$ is either sos-concave ($- abla^2g_i(x)=W(x)^TW(x)$ for some possibly nonsquare matrix polynomial $W(x)$) or strictly quasi-concave on $S$, then $S$ is SDP representable. {\bf (iii)} If each $S_i$ is either sos-convex or poscurv-convex ($S_i$ is compact convex, whose boundary has positive curvature and is nonsingular, i.e. $ abla g_i(x) ot = 0$ on $\bdS_i \cap S$), then $S$ is SDP representable. This also holds for $S_i$ for which $\bdS_i \cap S$ extends smoothly to the boundary of a poscurv-convex set containing $S$. {\bf (iv)} We give the complexity of Schmüdgen and Putinar's matrix Positivstellensatz, which are critical to the proofs of (i)-(iii).

研究动机与目标

• 确定凸、紧致、满维半代数集为SDP可表征的充分条件。
• 解决凸集可表示为高维空间中LMI定义集合投影的开放问题。
• 在Positivstellensatz表示中建立仿射线性函数在集合上非负的统一次数界，且该界与线性泛函无关。
• 弥合SDP可表征性的必要几何条件（如非负曲率）与充分代数条件（如sos-凹性、正曲率）之间的差距。
• 扩展并强化早期基于Schmüdgen与Putinar矩阵Positivstellensatz的提升LMI表示结果。

提出的方法

• 利用正定拉格朗日黑塞矩阵（PDLH）条件，确保拉格朗日函数的强凸性，从而实现LMI表示的构造。
• 应用Putinar强化版Positivstellensatz，将集合上非负的仿射线性函数表示为矩阵多项式平方和（SOS）。
• 引入“可延拓正曲率凸集”（extendable poscurv-convex）概念，将边界上正曲率条件推广至可光滑延拓至更大凸集的集合。
• 利用Schmüdgen与Putinar矩阵Positivstellensatz，推导出集合上非负线性函数表示的统一次数界。
• 通过将原集合嵌入高维空间中作为LMI定义集合的投影，构造提升LMI，利用定义多项式的SOS分解。
• 采用黑塞矩阵分析与多项式逼近技术，推导出与线性目标函数选择无关的次数界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，凸、紧致、满维半代数集为SDP可表征，即高维空间中LMI定义集合的投影？
• RQ2 正定拉格朗日黑塞矩阵（PDLH）条件是否能确保由凹多项式定义的凸集的SDP可表征性？
• RQ3 每个定义集$S_i$的边界上sos-凹性或正曲率在多大程度上能保证交集$S$的SDP可表征性？
• RQ4 能否在Schmüdgen或Putinar型表示中为集合上非负的仿射函数建立与线性泛函无关的统一次数界？
• RQ5 边界几何性质（如正曲率、非奇异）与代数性质（如sos-凹性）在确保SDP可表征性方面有何关联？

主要发现

• 若所有定义多项式$g_i(x)$在$S$上为凹函数，且满足正定拉格朗日黑塞矩阵（PDLH）条件，则$S$为SDP可表征。
• 若每个$g_i(x)$为sos-凹（即$-\nabla^2 g_i(x) = W(x)^T W(x)$，其中$W(x)$为某矩阵多项式）或在$S$上严格拟凹，则$S$为SDP可表征。
• 若每个$S_i = \{x : g_i(x) \geq 0\}$为sos-凸或可延拓正曲率凸集（即其边界具有正曲率且非奇异，且可光滑延拓为更大的正曲率凸集），则$S$为SDP可表征。
• 本文提供了Schmüdgen与Putinar矩阵Positivstellensatz表示的显式次数界，表明其增长至多为输入多项式次数的指数级。
• Positivstellensatz表示的复杂度以多项式次数与黑塞矩阵条件数为界，且与线性目标函数的选择无关。
• 结果表明，SDP可表征性的充分条件接近必要，因其仅需边界上非负曲率，而这是凸性的必要条件。