[论文解读] Semiinfinite Flags. I. Case of global curve $P^1$

Michael Finkelberg, Ivan Mirković|ArXiv.org|Jul 9, 1997

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 13被引用 8

一句话总结

本文将 $\mathbb{P}^1$ 上的全局半无限旗空间定义为单代数群 $G$ 的旗簇上拟映射的并集，并构造了一个具有因子化性质的 perverse 她层范畴 $PS$。它定义了一个从仿射格拉斯曼ian上 Iwahori-常数 perverse 她层到 $PS$ 的精确卷积函子，其猜想为实现了从带有除幂的量子群模到小量子群模的限制函子。

ABSTRACT

The Semiinfinite Flag Space appeared in the works of B.Feigin and E.Frenkel, and under different disguises was found by V.Drinfeld and G.Lusztig in the early 80-s. Another recent discovery (Beilinson-Drinfeld Grassmannian) turned out to conceal a new incarnation of Semiinfinite Flags. We write down these and other results scattered in folklore. We define the local semiinfinite flag space attached to a semisimple group $G$ as the quotient $G((z))/HN((z))$ (an ind-scheme), where $H$ and $N$ are a Cartan subgroup and the unipotent radical of a Borel subgroup of $G$. The global semiinfinite flag space attached to a smooth complete curve $C$ is a union of Quasimaps from $C$ to the flag variety of $G$. In the present work we use $C=P^1$ to construct the category $PS$ of certain collections of perverse sheaves on Quasimaps spaces, with factorization isomorphisms. We construct an exact convolution functor from the category of perverse sheaves on affine Grassmannian, constant along Iwahori orbits, to the category $PS$. Conjecturally, this functor should correspond to the restriction functor from modules over quantum group with divided powers to modules over the small quantum group.

研究动机与目标

• 将 $\mathbb{P}^1$ 上的全局半无限旗空间形式化为参数化 $G$ 的旗簇上拟映射的几何对象。
• 在参数化为拟映射空间的 $PS$ 偏差层范畴中定义一个配备因子化同构结构的范畴，以捕捉与表示理论相关的几何结构。
• 从仿射格拉斯曼ian上 Iwahori-常数 perverse 她层范畴构造一个到范畴 $PS$ 的精确卷积函子。
• 通过几何 Satake 类型对应，提供从带有除幂的量子群模到小量子群模的限制函子的几何实现。

提出的方法

• 将局部半无限旗空间定义为 ind-概形 $G((z))/HN((z))$，其中 $H$ 为 Cartan 子群，$N$ 为 $G$ 的 Borel 子群的幂零部分。
• 将 $\mathbb{P}^1$ 上的全局半无限旗空间构造为从 $\mathbb{P}^1$ 到 $G$ 的旗簇的拟映射的并集。
• 为拟映射空间配备因子化结构，从而可定义一个与该因子化兼容的、配备因子化同构结构的 $PS$ 偏差层范畴。
• 利用仿射格拉斯曼ian与 Beilinson-Drinfeld 格拉斯曼ian的几何结构定义卷积函子，将 Iwahori-常数 perverse 她层映射到 $PS$。
• 利用 $G((z))/HN((z))$ 的 ind-概形结构来建模局部半无限旗空间，并将其与 $\mathbb{P}^1$ 上的全局构造联系起来。
• 利用 Beilinson-Drinfeld 格拉斯曼ian 的已知结果，揭示半无限旗的隐藏实现形式，并将其与拟映射方法统一。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何严格地将 $\mathbb{P}^1$ 上的全局半无限旗空间定义为参数化 $G$ 的旗簇上拟映射的几何对象？
• RQ2 拟映射空间上的 perverse 她层从拟映射模的因子化性质中继承了何种结构？
• RQ3 能否构造一个卷积函子，将仿射格拉斯曼ian上 Iwahori-常数 perverse 她层映射到 $PS$ 拟映射空间上的因子化 perverse 她层范畴？
• RQ4 该卷积函子在表示论中的意义为何，特别是与量子群的关系如何？

主要发现

• 在 $\mathbb{P}^1$ 上的全局半无限旗空间被实现为 $G$ 的旗簇上拟映射的并集，为全局设定下的半无限旗簇提供了几何模型。
• 构造了一个配备因子化同构结构的拟映射空间上的 $PS$ 偏差层范畴，该结构推广了仿射格拉斯曼ian上局部系统所具有的因子化性质。
• 从仿射格拉斯曼ian上 Iwahori-常数 perverse 她层范畴到 $PS$ 的精确卷积函子被定义，其保持了因子化与几何结构。
• 该卷积函子猜想同构于从带有除幂的量子群模到小量子群模的限制函子，从而为这一代数构造提供了几何实现。