[论文解读] Semistable models for modular curves of arbitrary level

Jared Weinstein|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2010

Advanced Algebra and Geometry参考文献 13被引用 6

一句话总结

本文通过构建无限层级的 Lubin-Tate 空间在足够非平凡扩张下的半稳定覆盖，构造了在 $\mathbf{Z}_p$ 的一个足够非平凡扩张上的模曲线 $X(Np^m)$ 的半稳定模型，该无限层级的 Lubin-Tate 空间被证明是一个完美oid空间。关键结果是一个相容的半稳定模型族，其特殊纤维仅具有普通双值点奇点，从而可通过权重谱序列实现上同调计算。

ABSTRACT

We produce an integral model for the modular curve $X(Np^m)$ over the ring of integers of a sufficiently ramified extension of $\mathbf{Z}_p$ whose special fiber is a {\em semistable curve} in the sense that its only singularities are normal crossings. This is done by constructing a semistable covering (in the sense of Coleman) of the supersingular part of $X(Np^m)$, which is a union of copies of a Lubin-Tate curve. In doing so we tie together nonabelian Lubin-Tate theory to the representation-theoretic point of view afforded by Bushnell-Kutzko types. For our analysis it was essential to work with the Lubin-Tate curve not at level $p^m$ but rather at infinite level. We show that the infinite-level Lubin-Tate space (in arbitrary dimension, over an arbitrary nonarchimedean local field) has the structure of a perfectoid space, which is in many ways simpler than the Lubin-Tate spaces of finite level.

研究动机与目标

• 在 $\mathbf{Z}_p$ 的一个非平凡扩张上构造模曲线 $X(Np^m)$ 的半稳定模型，其特殊纤维仅具有普通双值点奇点。
• 通过分析无限层级的 Lubin-Tate 空间，将非交换 Lubin-Tate 理论与 Bushnell-Kutzko 类型统一起来。
• 通过半稳定约化，提供 Jacquet-Langlands 对应关系与局部 Langlands 对应关系的局部几何实现。
• 利用完美oid几何，将先前关于 $X_0(Np^k)$ 的稳定模型结果推广至任意 $p^m$ 层次。
• 证明在非阿基米德局部域上的无限层级 Lubin-Tate 空间是一个完美oid空间，从而简化有限层级的分析。

提出的方法

• 利用 Coleman 的宽开曲线理论，通过 Lubin-Tate 曲线的并集，构造 $X(Np^m)$ 的上奇异点的半稳定覆盖。
• 将无限层级的 Lubin-Tate 模型问题分析为一个完美oid空间，利用其在有限层级类比中的几何简洁性。
• 利用 $\operatorname{GL}_2(K) \times D^\times \times W_K$ 在 Lubin-Tate 赋值塔上的作用，将表示论与几何联系起来。
• 应用链序和层的理论，定义在 CM 点处的相容层次结构与连接序。
• 使用坐标系和行列式态射的逼近，定义 Lubin-Tate 赋值塔中的特殊仿射开集 $\mathcal{Y}_{\mathbf{x},m}$。
• 通过商掉 Bruhat-Tits 树 $\mathcal{T}^\circ$ 关于 $\Gamma^1(p^m)$，然后将对应于 CM 点的端点上的有理分支收缩，构造特殊纤维的对偶图，从而得到最终的稳定模型。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在 $\mathbf{Z}_p$ 的一个非平凡扩张上为 $X(Np^m)$ 构造一个仅具有普通双值点奇点的半稳定模型？
• RQ2 无限层级的 Lubin-Tate 空间与有限层级的 Lubin-Tate 空间有何关系？能否为其赋予完美oid结构？
• RQ3 能否通过 Lubin-Tate 曲线对上奇异点的半稳定覆盖，实现模曲线的半稳定约化？
• RQ4 无限层级的 Lubin-Tate 空间在多大程度上实现了非交换 Lubin-Tate 理论与 Jacquet-Langlands 对应关系？
• RQ5 半稳定模型的特殊纤维的结构是怎样的？其分支与交点重数如何产生？

主要发现

• 在任意维数的非阿基米德局部域上的无限层级 Lubin-Tate 空间是一个完美oid空间，简化了有限层级 Lubin-Tate 空间的几何结构。
• 在 $\hat{K}^{\operatorname{nr}}$ 的有限扩张上，存在一个相容的半稳定模型族 $\hat{\mathcal{M}}_m$，用于 $\mathcal{M}_m$，即 $p^m$ 层次的 Lubin-Tate 空间。
• 在 $\hat{\mathcal{M}}_m$ 的特殊纤维中，仅具有普通双值点奇点，且每个不可约分支均为某个 Bruhat-Tits 树中顶点 $v$ 的 $\overline{\mathcal{Z}}_v^{(m)}$ 的完备化。
• 对应于非本原顶点的分支是有理的（亏格 0），而来自本原顶点的分支具有正亏格，并纯不可分地映射到其关联曲线 $C_v$。
• 当 $m$ 足够大时，$\Gamma(\pi^m) \cap \mathcal{K}_{\mathbf{x},v}^1$ 在 $C_v$ 上的作用变为平凡，且态射 $\overline{\mathcal{Z}}_v^{(m)} \to C_v$ 是纯不可分的。
• 特殊纤维的对偶图通过商掉 Bruhat-Tits 树 $\mathcal{T}^\circ$ 关于 $\Gamma^1(p^m)$ 构造，移除对应于 CM 点的端点上的有理分支，并在边界点处附着 Igusa 曲线 $\operatorname{Ig}(p^m)$。