[论文解读] Sensitivity and block sensitivity of nested canalyzing function

Yuan Li, John O. Adeyeye|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2012

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 7被引用 3

一句话总结

本文为嵌套可化函数（NCFs）提供了敏感度与块敏感度的精确公式，证明二者相等且有界于 $\frac{n+1}{2}$ 与 $n$ 之间，界限紧致。此外，本文还对既是单调又是嵌套可化函数的函数进行了完整刻画，利用多项式系数得出了其精确计数。

ABSTRACT

Based on a recent characterization of nested canalyzing function (NCF), we obtain the formula of the sensitivity of any NCF. Hence we find that any sensitivity of NCF is between $\frac{n+1}{2}$ and $n$. Both lower and upper bounds are tight. We prove that the block sensitivity, hence the $l$-block sensitivity, is same to the sensitivity. It is well known that monotone function also has this property. We eventually find all the functions which are both monotone and nested canalyzing (MNCF). The cardinality of all the MNCF is also provided.

研究动机与目标

• 利用其唯一的代数正规形式（ANF）和层级数，推导任意嵌套可化函数（NCF）的敏感度的精确公式。
• 证明所有 NCF 的块敏感度等于敏感度，扩展了此前仅对单调函数成立的性质。
• 对既是单调又是嵌套可化函数（MNCFs）的布尔函数集合进行刻画，并计算其精确基数。
• 建立 NCF 敏感度的紧致界限，表明其范围从 $\frac{n+1}{2}$ 到 $n$，且两个界限均可达到。
• 通过层级结构与变量配置，利用多项式系数，对 MNCF 进行完整的组合刻画。

提出的方法

• 利用先前工作中刻画的 NCF 唯一代数正规形式（ANF），表达为 $ f = M_1(M_2(\cdots(M_r \oplus 1)\oplus 1)\cdots)\oplus b $，其中 $ M_i $ 为变量或其补数的乘积。
• 引入“层级数” $ r $ 的概念，该概念定义了 NCF 的分层结构，并决定了敏感度的行为。
• 通过追踪翻转单个位如何通过 $ M_i $ 的嵌套结构影响输出，分析每个输入处的敏感度，特别关注链中第一个值为零的位。
• 通过证明任何改变函数值的最小块必须仅由单个位组成，从而证明块敏感度等于敏感度，原因在于 NCF 结构中的分层依赖性。
• 应用组合技术，通过固定层级结构 $[k_1, \dots, k_r]$（其中 $k_i \geq 1$ 对于 $i < r$，且 $k_r \geq 2$），并为保持单调性分配一致的极性值，来计数 MNCF。
• 使用多项式系数 $ \binom{n}{k_1, \dots, k_r} $ 计算每种配置下的有效变量分配数量，并乘以 4 表示极性和输出值的选择。

实验结果

研究问题

• RQ1 任意嵌套可化函数的精确敏感度是多少？其紧致界限是什么？
• RQ2 块敏感度是否对所有嵌套可化函数都等于敏感度，正如其对单调函数的情况一样？
• RQ3 哪些布尔函数既是单调又是嵌套可化函数？这样的函数共有多少个？
• RQ4 NCF 的层级数与变量配置如何影响其敏感度与单调性？
• RQ5 是否可以枚举所有单调嵌套可化函数的完整集合？其精确基数是多少？

主要发现

• 任何 NCF 的敏感度介于 $\frac{n+1}{2}$ 与 $n$ 之间，且界限紧致，当层级数 $ r = n $ 时达到下界。
• 所有 NCF 的块敏感度等于敏感度，即 $ bs(f) = s(f) $，原因在于分层结构强制最小块为单一位。
• NCF 的敏感度仅取决于层级数 $ r $：当 $ r = 1 $ 时，敏感度为 $ n $；当 $ r > 1 $ 时，由第一个值发生翻转的层级决定。
• 所有既是单调又是嵌套可化函数（MNCFs）的函数，其特征为各层级间极性交替：对于奇数 $ i $，有 $ M_i = \prod (x_j \oplus a) $，$ M_{i+1} = \prod (x_j \oplus \overline{a}) $。
• MNCF 的总数为 $ 4 \sum_{\substack{k_1+\cdots+k_r=n \\ k_i\geq1, i<r, k_r\geq2}} \binom{n}{k_1,\dots,k_r} $，由有效层级配置上的多项式系数推导得出。
• 基数公式考虑了 4 种选择：两种用于基础极性 $ a \in \{0,1\} $，两种用于输出值 $ b \in \{0,1\} $，变量分配受层级结构约束。