[论文解读] Sensitivity, proximal extension and higher order almost automorphy

Xiangdong Ye, Tao Yu|arXiv (Cornell University)|May 4, 2016

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 20被引用 4

一句话总结

本文通过引入强 $\mathcal{F}$-敏感性和块 $\mathcal{F}$-敏感性（针对厚集、IP-集和有限IP-集等集合族），建立了极小拓扑动力系统的新一类Auslander-Yorke型二分定理。证明了极小系统要么是强 $\mathcal{F}_{fip}$-敏感的，要么是其 $\infty$-步Nil因子的几乎一对一扩张，类似地适用于 $\mathcal{F}_{ip}$ 和 $\mathcal{F}_{t}$，并将敏感性与结构性质（如渐近接近性与几乎一对一扩张）联系起来。

ABSTRACT

Let $(X,T)$ be a topological dynamical system, and $\mathcal{F}$ be a family of subsets of $\mathbb{Z}_+$. $(X,T)$ is strongly $\mathcal{F}$-sensitive, if there is $δ>0$ such that for each non-empty open subset $U$, there are $x,y\in U$ with $\{n\in\mathbb{Z}_+: d(T^nx,T^ny)>δ\}\in\mathcal{F}$. Let $\mathcal{F}_t$ (resp. $\mathcal{F}_{ip}$, $\mathcal{F}_{fip}$) be consisting of thick sets (resp. IP-sets, subsets containing arbitrarily long finite IP-sets). The following Auslander-Yorke's type dichotomy theorems are obtained: (1) a minimal system is either strongly $\mathcal{F}_{fip}$-sensitive or an almost one-to-one extension of its $\infty$-step nilfactor. (2) a minimal system is either strongly $\mathcal{F}_{ip}$-sensitive or an almost one-to-one extension of its maximal distal factor. (3) a minimal system is either strongly $\mathcal{F}_{t}$-sensitive or a proximal extension of its maximal distal factor.

研究动机与目标

• 通过为 $\mathbb{Z}_+$ 的子集族 $\mathcal{F}$ 引入强 $\mathcal{F}$-敏感性和块 $\mathcal{F}$-敏感性，推广拓扑动力系统中的敏感性概念。
• 基于特定族（$\mathcal{F}_t$：厚集，$\mathcal{F}_{ip}$：IP-集，$\mathcal{F}_{fip}$：包含任意长有限IP-集的集合）建立极小系统的二分定理。
• 以相对于其最大等距连续因子、Nil因子或一致离散因子的扩张性质来刻画极小系统为强 $\mathcal{F}$-敏感的条件。
• 澄清敏感性、渐近接近性与几乎一对一扩张之间的关系，特别是在高阶几乎自同构与 $\mathbf{RP}^{[d]}$ 关系的背景下。

提出的方法

• 引入强 $\mathcal{F}$-敏感性：对每个开集 $U$，存在 $x,y \in U$，使得集合 $\{n \in \mathbb{Z}_+ : d(T^n x, T^n y) > \delta\}$ 属于一族 $\mathcal{F}$。
• 定义块 $\mathcal{F}$-敏感性，要求对每个 $x$ 及其邻域 $U_x$，存在 $y \in U_x$，使得分离集包含任意长的区间或有限IP-集。
• 利用 $\mathcal{F}_{Poin_d}$ 和 $\mathcal{F}_{GP_d}$ 等族的Ramsey性质，在某些结构假设下假设非敏感性时导出矛盾。
• 应用高阶区域接近关系 $\mathbf{RP}^{[d]}$ 的理论，特别是 $\mathbf{RP}^{[d]}[x] = x$，以分析极小系统的结构。
• 应用结构定理：极小系统要么是强 $\mathcal{F}_{fip}$-敏感的，要么是其 $\infty$-步Nil因子的几乎一对一扩张。
• 通过在 $\mathbb{T}^d$ 上构造 $d$-步Nil系统 $T_{\alpha,d}$ 的反例，表明主二分定理的逆命题不成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 何时极小系统是强 $\mathcal{F}_{fip}$-敏感的？这与它对 $\infty$-步Nil因子的扩张性质有何关系？
• RQ2 块 $\mathcal{F}_t$-敏感性与最大等距连续因子映射的渐近接近性之间有何关系？
• RQ3 在何种条件下极小系统是块 $\mathcal{F}_{ip}$-敏感的？这与它对 $\infty$-步Nil因子的几乎一对一扩张性质有何关联？
• RQ4 是否能以系统及其因子的结构来刻画强 $\mathcal{F}_{Poin_d}$-敏感性？
• RQ5 强 $\mathcal{F}_{fip}$-敏感性的二分定理的逆命题是否成立？若不成立，存在哪些反例？

主要发现

• 极小系统是强 $\mathcal{F}_{fip}$-敏感的当且仅当其到 $\infty$-步Nil因子的因子映射不是几乎一对一的。
• 极小系统是块 $\mathcal{F}_t$-敏感的当且仅当其到最大等距连续因子的因子映射不是渐近接近的。
• 极小系统是强 $\mathcal{F}_{ip}$-敏感的当且仅当它是块 $\mathcal{F}_{ip}$-敏感的，且其到 $\infty$-步Nil因子的映射不是几乎一对一的。
• 存在极小系统，它们不是其 $(d-1)$-步Nil因子的几乎一对一扩张，但也不是强 $\mathcal{F}_{Poin_{d-1}}$-敏感的，这表明主二分定理的逆命题不成立。
• 对于 $\mathbb{T}^d$ 上的 $d$-步Nilsystem $T_{\alpha,d}$，当 $\alpha$ 为无理数时，该系统不是强 $\mathcal{F}_{Poin_{d-1}}$-敏感的，通过广义多项式与对偶族的性质，利用反证法证明。
• $\mathcal{F}_{Poin_d}$ 包含于 $\mathcal{F}_{d,0}^*$，且 $\mathcal{F}_{GP_d} = \mathcal{F}_{d,0}$，这些关系在非敏感性的证明中用于导出矛盾。