[论文解读] Sensor Selection via Randomized Sampling

Shaunak D. Bopardikar|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2017

Distributed Sensor Networks and Detection Algorithms参考文献 17被引用 3

一句话总结

本文提出了一种随机传感器选择算法，通过使用定制的概率分布对传感器进行有放回抽样，以近似线性时不变系统的可观测性Gramian矩阵。该方法在关键指标（如迹、最大特征值和最小特征值）上提供了高概率的界，确保了非奇异性和性能保证，在数值实验中优于贪心方法，同时实现了更少传感器使用下的高效递归状态估计。

ABSTRACT

Given a linear dynamical system, we consider the problem of constructing an approximate system using only a subset of the sensors out of the total set such that the observability Gramian of the new system is approximately equal to that of the original system. Our contributions are as follows. First, we present a randomized algorithm that samples the sensors with replacement as per specified distributions. For specific metrics of the observability Gramian such as the trace or the maximum eigenvalue, we derive novel bounds on the number of samples required to yield a high probability lower bound on the metric evaluated on the approximate Gramian. Second, with a different distribution, we derive high probability bounds on other standard metrics used in sensor selection, including the minimum eigenvalue or the trace of the Gramian inverse. This distribution requires a number of samples which is larger than the one required for the trace and the maximum eigenvalue, but guarantees non-singularity of the approximate Gramian if the original system is observable with high probability. Third, we demonstrate how the randomized procedure can be used for recursive state estimation using fewer sensors than the original system and provide a high probability upper bound on the initial error covariance. We supplement the theoretical results with several insightful numerical studies and comparisons with competing greedy approaches.

研究动机与目标

• 开发一种随机传感器选择框架，使用少于完整传感器集合的传感器数量来近似可观测性Gramian矩阵。
• 在随机抽样下，推导标准可观测性度量（迹、最大特征值、最小特征值以及Gramian逆矩阵的迹）的高概率界。
• 当原始系统可观测时，以高概率保证近似可观测性Gramian矩阵的非奇异。
• 在减少传感器数量的同时，实现递归状态估计，并对初始和稳态误差协方差进行界约束。
• 通过实验比较所提方法与贪心启发式方法，展示其在多个可观测性度量上的优越性能。

提出的方法

• 该方法采用一种随机抽样算法，根据两种不同的定制概率分布对传感器进行有放回抽样，以适应不同性能指标。
• 对于迹和最大特征值，算法使用与传感器贡献成比例的概率分布，并基于样本复杂度的理论界，确保高概率的下界。
• 对于最小特征值和Gramian逆矩阵的迹，引入了另一种概率分布，该分布需要更多样本，但能以高概率确保近似Gramian矩阵的非奇异。
• 该方法利用浓度不等式，推导出可观测性Gramian近似质量的概率保证。
• 该方法被应用于最小二乘估计和卡尔曼滤波，为初始和稳态误差协方差矩阵提供了高概率的上界。
• 数值实验在多个指标上（包括最小特征值、迹和最大特征值）将该方法与贪心启发式方法进行了比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 为实现可观测性Gramian矩阵迹或最大特征值的高概率下界，所需最少传感器样本数是多少？
• RQ2 能否通过随机抽样策略，即使在原始系统仅弱可观测时，也能以高概率确保近似可观测性Gramian矩阵的非奇异？
• RQ3 在最小特征值和Gramian逆矩阵的迹等关键可观测性度量方面，该随机算法相较于贪心启发式方法的性能如何？
• RQ4 使用该随机传感器选择方法进行递归状态估计时，初始误差协方差的理论界是什么？
• RQ5 该随机抽样方法能否扩展至在减少传感器使用的情况下，对卡尔曼滤波中的稳态误差协方差进行界约束？

主要发现

• 所提算法在广泛误差容忍度ε下，于所有测试指标（最小特征值、迹和最大特征值）上均优于贪心启发式方法。
• 允许传感器重复抽样的变体始终优于贪心方法，尤其在最小化最坏情况估计误差方面表现更优。
• 在递归估计中，初始误差协方差实际值比命题4.1中推导的理论界小一个数量级。
• 稳态误差协方差矩阵的相对误差随ε近似线性减小，表明性能趋势具有可预测性和可扩展性。
• 最小特征值和Gramian逆矩阵度量的样本复杂度高于迹和最大特征值，但能以高概率确保近似Gramian矩阵的非奇异。
• 在i.i.d.标准正态C矩阵的实验中，结果定性相似，但样本复杂度约为基线设置的两倍。