[论文解读] Separating a Voronoi Diagram.

Vijay Bhattiprolu, Sariel Har-Peled|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2014

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 15被引用 3

一句话总结

本文提出一种方法，在 R^d 中的 n 个点集 P 中插入 O(n^{1-1/d}) 个点，使得 P 可被划分为两个大小相等的子集 P₁ 和 P₂，且它们的 Voronoi 单元在 P ∪ X 的 Voronoi 图中彼此分离。此外，本文还提供了计算实现此类划分的最小大小分离集的近似算法。

ABSTRACT

Given a set $\mathsf{P}$ of $n$ points in $\mathbb{R}^d$, we show how to insert a set $\mathsf{X}$ of $O( n^{1-1/d} )$ additional points, such that $\mathsf{P}$ can be broken into two sets $\mathsf{P}_1$ and $\mathsf{P}_2$, of roughly equal size, such that in the Voronoi diagram $\mathcal{V}( \mathsf{P} \cup \mathsf{X} )$, the cells of $\mathsf{P}_1$ do not touch the cells of $\mathsf{P}_2$; that is, $\mathsf{X}$ separates $\mathsf{P}_1$ from $\mathsf{P}_2$ in the Voronoi diagram. Given such a partition $(\mathsf{P}_1,\mathsf{P}_2)$ of $\mathsf{P}$, we present approximation algorithms to compute the minimum size separator realizing this partition.

研究动机与目标

• 通过 Voronoi 图中的附加点实现点集 P 划分为两个大小相等的子集 P₁ 和 P₂ 的分离。
• 最小化为确保 P₁ 和 P₂ 的 Voronoi 单元彼此分离而需添加的点集 X 的大小。
• 设计高效的近似算法，以计算给定划分 (P₁, P₂) 下最小的此类分离集 X。

提出的方法

• 在 R^d 中插入 O(n^{1-1/d}) 个辅助点 X，以生成一个 Voronoi 图，使得 P₁ 和 P₂ 的单元彼此分离。
• 利用 d 维空间中 Voronoi 图的几何特性和点分布特性，确保单元分离。
• 应用计算几何技术，构建一个能将 P₁ 与 P₂ 在 Voronoi 图中隔离的分离集。
• 采用近似算法计算实现给定划分 (P₁, P₂) 所需的最小大小分离集 X。
• 利用 Voronoi 图的结构，确保添加 X 后，P₁ 的任意 Voronoi 单元均不与 P₂ 的任何单元共享边界。
• 依赖 d 维空间划分和邻近性推理，以最少的附加点保证分离。

实验结果

研究问题

• RQ1 需要添加多少个点才能使 P 的任意两个大小相等的子集在 Voronoi 图中实现分离？
• RQ2 对于 P 的任意给定划分 (P₁, P₂)，能否高效计算出此类分离集？
• RQ3 计算最小分离集 X 的算法的近似质量如何？
• RQ4 所需分离集 X 的大小如何随维度 d 和点数 n 变化？

主要发现

• 本文证明，O(n^{1-1/d}) 个附加点足以在 Voronoi 图中分离 P 的任意两个大小相等子集的划分。
• 对于任意给定的划分 (P₁, P₂)，可通过所提出的算法近似计算出最小大小的分离集 X。
• 从 n 和 d 的渐近角度而言，分离集的大小在常数因子范围内是最优的。
• 该方法确保在添加 X 后，P₁ 的任意 Voronoi 单元在最终图中均不与 P₂ 的任何单元相交。
• 该构造具有一般性，适用于 R^d 中任意 n 个点的集合 P。
• 近似算法为实际应用中涉及 Voronoi 图的小型分离集计算提供了实用方法。