[论文解读] Separating NOF communication complexity classes RP and NP

Matei David, Toniann Pitassi|ArXiv.org|Feb 26, 2008

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 16被引用 13

一句话总结

本文通过引入使用随机函数 F^φ 的广义分歧方法，建立了在最多 δ·log n 名玩家（其中 δ < 1）的情况下，非显式分离数在额头（NOF）通信复杂度类 RP 与 NP 的方法。关键结果表明，对于 k ≤ δ·log n，有 NP_k^cc ⊈ BPP_k^cc（因此 NP_k^cc ≠ RP_k^cc），从而克服了分歧方法在处理低非确定性复杂度函数时的先前局限性。

ABSTRACT

We provide a non-explicit separation of the number-on-forehead communication complexity classes RP and NP when the number of players is up to δlog(n) for any δ&lt;1. Recent lower bounds on Set-Disjointness [LS08,CA08] provide an explicit separation between these classes when the number of players is only up to o(loglog(n)).

研究动机与目标

• 解决在数在额头（NOF）通信复杂度模型中，对超常数名玩家分离 RP 与 NP 的基本开放问题。
• 通过引入与相关函数结合的广义方法，克服分歧方法在处理非确定性复杂度较小的函数时失效的局限性。
• 将先前针对 o(log log n) 名玩家的显式分离结果推广至更广范围，扩展至任意 δ < 1 下的 δ·log n 名玩家。
• 通过非显式构造证明 NP_k^cc ⊈ BPP_k^cc（因此 NP_k^cc ≠ RP_k^cc）对所有 k ≤ δ·log n 成立。

提出的方法

• 引入函数族 F^φ，其中 φ 从玩家 0 的输入中选择 m 个索引，F^φ 输出对应位的逻辑或。
• 使用随机函数 φ 构造 F^φ，使其具有小的非确定性复杂度但高随机复杂度。
• 应用广义分歧方法：将 F^φ 与在分布 λ 下具有小分歧的函数 G 进行相关联。
• 证明若 F^φ 与 G 高度相关且 G 的分歧小，则 F^φ 必须具有高随机通信复杂度。
• 利用概率构造与多重集分析，限制集合 S_u = φ(y_1^u1, ..., y_k^uk) 中的冲突数量，确保相关函数的分歧低。
• 利用期望与条件分布的性质，界定 μ 与 g 的内积，证明分歧呈指数级小。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在 δ < 1 且 k = δ·log n 名玩家的 NOF 模型中，实现 RP 与 NP 的非显式分离？
• RQ2 能否将分歧方法广义化，以绕过其在低非确定性复杂度函数上的失效问题？
• RQ3 能否通过使用随机选择器 φ，构造出具有小非确定性复杂度但高随机复杂度的函数 F^φ？
• RQ4 在 NOF 模型中，NP_k^cc ⊈ BPP_k^cc 成立的 k（以 n 表示）的阈值是多少？

主要发现

• 本文确立了对所有 δ < 1 及所有 k ≤ δ·log n，有 NP_k^cc ⊈ BPP_k^cc（因此 NP_k^cc ≠ RP_k^cc）。
• 该分离是非显式的，依赖于概率存在性，而非函数的显式构造。
• 证明使用了广义分歧方法，将低非确定性复杂度函数 F^φ 与在特定分布下具有低分歧的函数 G 相关联。
• 分析表明，F^φ 的期望分歧呈指数级小，意味着其随机通信复杂度很高。
• 通过替换抽样近似，对所选索引的多重集中冲突数量进行有界，得到 q 个冲突的概率界为 (m2^k / n)^q。
• 该方法实现了比以往结果（此前限于 o(log log n) 名玩家）更显著的玩家数量扩展，达到 δ·log n 名玩家。